关于培养学生数学猜想能力的思考与实践

张锁荣

《数学课程标准》（2011年版）提出：“推理一般包括合情推理和演绎推理”，要求“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力。”数学教学中，要重视学生数学猜想能力的培养，具体的形式有归纳性猜想、类比性猜想、探索性猜想、仿照性猜想等。

一、培养学生数学猜想能力的思考

1.培养学生数学猜想能力的必要性

什么是科学的方法，如果用一句话回答，那么它应该是“猜想与验证”。数学方法理论的倡导者波利亚对猜想作了深入研究，著有《数学与猜想》一书。波利亚曾说，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责任的态度；在数学教学中必须有猜想的地位；教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。无论如何，教学不应该压制学生中间的发明萌芽。波利亚认为，在有些情况下，教猜想比教证明更重要。牛顿也曾说：“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现。”

2.数学猜想能力的本质

数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合情推理。数学猜想能缩短解决问题的时间，能获得数学发现的机会，能锻炼数学思维。数学猜想并不是胡思乱想，基本思维模式是：问题反复思索联想—顿悟提出假说—验证结论。历史上许多重要的数学发现都是经过“猜想”这一非逻辑手段而得到的。

3.对数学思维培养的观念更新

培养学生的思维能力，引导学生学会数学地思考，是数学教育的核心目标，是数学教育永恒不变的主题。纵观历年来的教学大纲与《数学课程标准》，对于数学思维培养的认识在提高、观念在更新。小学数学教学只重视逻辑思维能力的培养是不够的，还需要发展学生的形象思维和直觉思维。

综上所述，大胆猜想、仔细验证是重要的数学学习方法。数学猜想实际上是一种创造性思维，培养学生的猜想能力有利于鼓励学生用多种思维方式思考问题，从而可以更好地培养和激发学生的创造力。

二、培养学生数学猜想能力的实践

在小学数学教学中，重视学生数学猜想能力的培养，就是要选择合适的题材，把握好教育与训练的时机，让学生经历从具体事例提出猜想的过程，教会学生猜想，进行合情推理，使学生获得探究、发现和论证的体验，从而训练学生的猜想能力。那么，如何在数学教学过程中合理运用与有机渗透呢？下面谈谈我的一些实践和思考。

1.归纳性猜想

数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续而已。”归纳性猜想是从对个别或特殊的事物的判断，扩大为对同类一般事物的判断，这种思维过程称为归纳性猜想。数学教学中，数学概念的形成和法则的概括以及解题就应体现出归纳思想，要尽量通过观察直观图形，或让学生自己动手借助于实物的讨论，在有了丰富感性认识的基础上提出猜想，进而归纳出相应的法则、性质和公式。小学数学中的许多概念、法则、公式都是通过对部分数学事实进行观察、比较、分析、综合，从中归纳出一般的结论。在新知教学中，要充分展示发现新知的探究过程，充分展现获取新知的思维过程，给学生充分的探索、归纳、发现的机会，培养学生的“归纳性猜想”。

2.类比性猜想

波利亚在《怎样解题》中说：“在求解（求证）一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答。”类比性猜想是根据两个或两类对象之间在某些方面（如特性、属性、关系）的相似或相同，从而猜测它们在其他方面也可能相似或相同的一种猜想。常见的类比有直线与平面的类比、平面和空间的类比、数和形的类比、加减和乘除的类比、有限和无限的类比、个体和整体的类比。教学中，我们既要让学生敢于进行类比，不怕失败；同时还要正确地指导学生进行合理类比，讲清原则和作用。引导学生用类比推理作出合理猜想，再用严格的逻辑推理加以验证，这是我们数学发现和解决问题的基本而重要的思想方法。在新知教学过程中，对于新旧知识紧密联系的内容，抓住新旧知识的连接点，创设一定的问题情境，要引导学生充分调动原有知识和经验，使学生能借助旧知产生正迁移，凭借“猜想—验证”的途径，先建立“类比性猜想”，然后从不同角度来验证猜想，利用类比性猜想来创造新知，体会数学知识间的联系。

案例一：“圆柱体积公式计算”的教学片段与反思

片段一 创设情景，感知圆柱体积的概念。

教师拿出一个装了半杯水的烧杯，拿出一个圆柱形的物体，准备投入烧杯中。

师：同学们想一想会发生什么情况？（教师将圆柱形的物体投入水中）请仔细观察后，说一说你有什么发现？

生1：水面上升了一些。生2：圆柱形的物体挤掉了原来水占有的空间。生3：圆柱体占有一定空间。

师：我们通常把这个空间叫体积。

生：我发现上升的水的体积和圆柱的体积是相等的。

师：同学们发现得都很精彩，谁来说一说什么叫圆柱的体积。

生：圆柱所占空间的大小就叫圆柱的体积。

片段二 比较大小，创设猜想圆柱体积的情景。

教师又拿出一个圆柱（底面略小而高长一些，体积相差不多）。

师：这两个圆柱的体积，哪个比较大一些？

生1：第一个比较大，因为它高一些。生2：第二个比较大，因为它粗一些。生3：他们都是猜的。第一个圆柱它虽然高一些，但底面积小一些；第二个圆柱虽然底面大一些，但它的高少了一些，所以无法准确地比较它们的大小。

师：有什么办法能比较它们的大小呢？（小组讨论）

生：准备半杯水，将第一个圆柱浸没水中，做好标志，再把第二个圆柱浸没水中，做个标志，哪个水面上升得高一些，哪个圆柱的体积就比较大。

师：这个方法好。如果要准确地知道哪个圆柱的体积大，大多少，你有什么好办法？（小组讨论）

生：要是学会了计算圆柱的体积就好解决了。

片段三 类比猜想，感知圆柱的体积计算公式。

师：你觉得圆柱体积的大小和什么有关？

生1：和圆柱的高有关，一个圆柱它的高增加，它的体积也会变大些。

生2：和圆柱的底面大小有关，一个圆柱的底面增加，它的体积也会变大些。

师：很好！大胆地推想一下圆柱的体积应如何计算？（小组讨论）

生：我猜想用圆柱的底面积乘以它的高就可以求出体积。

师：你同意他的猜想吗？说说你的理由。

生1：我觉得他的想法很有道理，因为圆柱体可以看作是有很多个相同的圆叠加起来的。

生2：我也觉得有道理，因为长方体和正方体的体积公式也是底面积乘以高。

片段四 仔细验证，推导圆柱的体积计算公式。

师：同学们都会大胆猜想，但还要小心地论证猜想的科学性。

教师拿出一个圆柱体教具，把它藏在衣服里，只露出一个底面。

师：你看到了什么？

生：圆形。

师：你还记得圆是转化成什么图形的面积来求它的面积公式的吗？

生：把圆的面积转化成长方形的面积。

教师把整个圆柱拿出来，问：怎么求这个圆柱的体积呢？（小组讨论）

生：可以把这个圆柱转化成我们已经会求的长方体的体积来求。

师：说说你们小组是如何转化的。

生上台操作展示。生：我们把圆柱平均分成16份，可以拼成一个近似的长方体，这个长方体的高就是圆柱的高，底面积和圆柱的底面积相等。所以，圆柱的体积可以用底面积乘高来求。

师：你同意吗？照这样做一遍，然后说一说如何求圆柱的体积。

教师课件出示将圆柱分成32份和64份后拼成长方体的过程；然后总结“如果分的份数越多就越接近于长方体”；最后学生自主得出圆柱的体积公式。

反思：整个教学，由浅及深，引导学生积极探索、猜想、验证。首先，使得学生建立圆柱的体积概念，创设问题情境，引导学生“你觉得圆柱体积的大小和什么有关”，给学生提供了重要的猜想的条件和情境。其次，引导学生大胆猜想圆柱的体积应如何计算？直接让学生自由猜想圆柱的体积计算公式。实践表明，学生根据已有的长方体（或正方体）的体积就可以类比猜想出圆柱的体积计算公式。最后，进行验证。这样教学，培养了学生大胆猜想、勇于探索、积极思索、敢于创新的精神。

3.探索性猜想

归纳性猜想和类比性猜想都是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的。波利亚曾说：“我想谈一个小小的建议，可否在学生做题之前，让他们猜想该题的结果，或者部分结果。”在解决问题时，如果能先对问题作初步的逻辑分析，然后再依据已有的知识和经验，引导学生作出逼近结论的猜想。最后，再加以检验、修改和验证。我们把这种带有探索推理性的猜想称为探索性猜想。

（1）通过试验假设提出探索性猜想。在解决问题时，使逻辑思维因素和非逻辑思维因素交织在一起，两者协同作用，有利于激活思维，开阔思路，把握问题的关键，提高分析问题、解决问题能力。这样教学，既要注重算理，又要合理估计结果，并能根据条件合理作出猜想，培养思维的创造性。

教学中，教师应给学生提供自主探索的机会，让学生在观察、讨论、交流、猜测的过程中，经历数学学习过程，从中探得规律。引导学生从不同角度去分析、解决问题，逐步培养学生探索和解决问题的能力。教学中，既让学生说算理，又引导学生估计结果，并能依据条件作出合情猜想，从中学会科学的思维方法。

（2）通过数形结合提出探索性猜想。数形结合方法之一是借助形的生动和直观性来认识数，引导学生主动而有效地观察图形，培养学生从图中读懂重要信息并整理信息的能力，提高提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学规律形成的意义。引导学生经历观察、操作、归纳、类比、猜测等过程，提出探索性猜想，发展合情推理能力。

4.仿照性猜想

精心选择与课本上相关的知识点或思想方法，通过猜想验证，在已有知识的基础上引导学生去探索，举一反三，在知识迁移中发展“仿照性猜想”。

案例二：猜想与验证相结合

在学习圆柱的表面积和体积之后，我出示了以下这道题：

把一个底面积为24平方厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，然后在圆柱体的表面涂上油漆。要刷油漆的面积是多少？

同学们议论纷纷。大家都认为要求圆柱的表面积，需要知道底面直径（或半径）以及圆柱的高。可这道题只告诉我们正方体的底面积是24平方厘米，底面（正方形）的边长求不出来，怎么办呢？

善于思考的同学联想到以前做过一道与今天有点类似的题目：已知正方形的面积是10平方厘米，求正方形内最大圆的面积。

这道题中圆柱的表面积与正方体表面积会不会也存在类似这样的规律呢？即圆柱的表面积是不是占正方体表面积的78.5%呢？

我们就列式计算，然后验算。

最后证明，刚才的猜想是正确的。于是，我们可以很快求出要刷油漆的面积（圆柱的表面积）。

反思：探索是数学教学的生命线。开启学生的“猜想”，让学生喜欢和善于猜想，让猜想成为学生自主探索的序曲。我们既要让学生大胆猜想，又要引导学生仔细验证，并能依据条件或经验作出合理的猜想。然后，引导学生从不同角度来探索，在探索过程中经历先猜想、后验证的体验与经历，将观察、分析、假设、验证交织在一起，不断提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。

综上所述，让小学生充分经历探究、发现、猜想和验证的过程，合理地渗透数学思想方法，培养学生初步的数学猜想能力，有利于从小培养学生的数学的素养和数学学习的能力。