一类具有非线性发生率的时滞病毒模型Hopf分支

刘 娟

(蚌埠学院数学与物理系,安徽 蚌埠，233030)

多年来，国内外许多研究学者利用微分方程建立相应的模型，对人体内的病毒感染过程进行模拟，并取得很多的成果[1～6]。刑培旭等[1]研究了一个带有饱和发生率的病毒模型的稳定性。Mccluskey[4]研究了一类时滞SIR传染病模型的全局稳定性。黄刚等[5]提出了如下具有Beddington-DeAngelis功能反应的乙型肝炎病毒模型:

(1)

在系统(1)中，x(t),y(t)和v(t)分别表示未感染的肝细胞、感染的肝细胞和游离病毒在时刻t的数量。a,b,d,k,p,s,u,β为系统(1)的参数，且均为正的常数，它们各自具有不同的生态含义。由于病毒接触目标肝细胞到目标肝细胞被感染，需要有一定的时间间隔。因此，黄刚等[6]研究了系统(1)具有时滞情形下的全局稳定性。受黄刚等[5]的工作启发，笔者研究如下具有时滞的病毒模型的Hopf分支：

(2)

其中，τ表示病毒接触目标肝细胞到目标肝细胞被感染的时间间隔。

1 Hopf分支存在性

作平移变换u1(t)=x(t)-x*,u2(t)=y(t)-y*,u3(t)=v(t)-v*,仍然记u1(t)，u2(t)，u3(t)为x(t)，y(t)和v(t)。

系统(2)在正平衡点E(x*,y*,v*)处的线性化系统为：

(3)

注意到b1b4=b2b3，可以得到系统(3)的特征方程：

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ=0

(4)

其中，m0=-a1a2a4,m1=a1a2+a1a4+a2a4,m2=-(a1+a2+a4),n0=a1a3b4-a2a4b1,n1=a2b1+a4b1-a3b4,n2=-b1。

当τ=0时，方程(4)变为

λ3+(m2+n2)λ2+(m1+n1)λ+m0+n0=0

(5)

显然，m2+n2>0。因此，根据赫尔维茨定理，如果(H1):(m2+n2)(m1+n1)>m0+n0成立, 则正平衡点E(x*,y*,v*)是局部渐近稳定的。

当τ>0时，令λ=iω(ω>0)为特征方程(4)的根，代入特征方程(4)并分离实虚部得

(6)

进而，得到

ω6+e2ω4+e1ω2+e0=0

(7)

令ω2=v,方程(7)变为

v3+e2v2+e1v+e0=0

(8)

定理1对于系统(2)，如果(H1)-(H3)成立，则当τ∈[0,τ0)时,系统(2)的正平衡点E(x*,y*,v*)是渐近稳定的；当τ=τ0时，系统(2)在正平衡点E(x*,y*,v*)处产生Hopf分支。

3 数值模拟

采用和文献[3]相同的系数，取a=1，b=1，d=0.2，k=7.5，p=0.25，s=5，u=2.5，β=1。考虑系统(2)的如下实例：

(9)

经过计算得到系统(9)的正平衡点E(4.552 2, 16.358 2, 49.074 6)。进而得到ω0=0.434 0,τ0=2.286 7。当取τ=2.05∈[0,τ0)时，系统(9)是渐近稳定的。而当取τ=2.45>τ0时，系统(9)失去稳定性，产生Hopf分支。仿真效果如图1，图2。

4 结论与讨论

本次研究了一类具有非线性发生率的时滞病毒动力学模型。通过分析模型相应特征方程根的分布，确定了模型产生Hopf分支的充分条件。当时滞小于临界值时，模型渐近稳定。而一旦时滞的取值超过临界值，模型将失去稳定性并产生Hopf分支。最后，利用仿真实例验证了以上理论结果的正确性。Hopf分支是一种非常重要的非线性现象，它的产生将不利于对病毒的控制。由此可以发现，时滞因素对病毒模型具有重要的影响。对于病毒模型Hopf分支的性质，诸如分支方向和分支周期解的稳定性问题，有待进一步研究。

图1 当τ=2.05<τ0=2.286 7时，系统(9)渐近稳定

图2 当τ=2.45>τ0=2.286 7时，系统(9)不稳定并发生Hopf分支

[1] 刑培旭,陈科委.一个带有饱和发生率的病毒模型动力学性质分[J].河南师范大学学报:自然科学版,2013,41(2):31-34.

[2] 段光爽,任磊.一类带时滞的病毒模型的全局稳定性性[J].西南民族大学学报:自然科学版,2012,38(1):24-28.

[3] 庄科俊,温朝晖.一类分数阶的病毒动力学模型[J].北华大学学报:自然科学版，2013，14(5):508-511.

[4] Mccluskey C C.Complete global stability for an SIR epidemic model with delay-Distributed or discrete,Nonlinear Anal[J].Real World Appl,2010,11(1):55-59.

[5] Huang G,Ma W B,Takeuchi Y.Global Properties for Virus Dynamics Model with Beddington-Deangelis Functional Response[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(11):1 690-1 693.

[6] Huang G,Ma W B,Takeuchi Y.Global Analysis for Delay Virus Dynamics Model with Beddington-Deangelis Functional Response[J].Applied Mathematics Letters,2011,24(7):1 199-1 203.

[7] Hu G P,Li X L.Stability and Hopf bifurcation for a delayed predator-prey model with disease in the prey[J].Chaos，solitons & Fractals,2012,45(3):229-237.

[8] Hassard B D,Kazarinoff N D,Wan Y H.Theory and Applications of Hopf Bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.