运用“几何直观” 达成多维目标

蔡杰

“几何直观”是2011版《义务教育数学课程标准》提出的十个核心理念之一，课程标准中对“几何直观”这样解释：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。”由此可见，课程标准对“几何直观”在教学中的作用十分重视。细细研读，“几何直观”在教学中的作用不仅仅局限于“图形与几何”领域中的问题，还可以运用到“数与代数”等其他知识领域的教学。这里的“图形”不仅仅局限于几何图形，线段图、运算符号、字母、文字等直观符号相结合的图示语言也都可以看成是“几何直观”理念的体现。 “几何直观”不但是解决问题的重要方法，而且在帮助学生理解数学知识、培养思维能力、建立模型思想等诸多方面都有重要的作用。在教学苏教版六年级下册“解决问题策略（转化）”单元内容时，我从“几何直观”理念入手，充分发挥“几何直观”的作用，实现多维教学目标。

一、运用直观图形展示思维的过程，让学生更好地理解知识

课程标准指出：“数学学习内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果形成过程和蕴含的数学思想方法。”因此教学中“既要重视结果，又要重视获取知识过程”已经是教师的共识。

例如，教学“转化”策略新授课，回顾“我们曾经运用转化策略解决过哪些问题”这一环节时，通过提问启发，学生回想到以前在学习平行四边形、三角形、梯形、圆形等平面图形的面积计算时都用到了转化的策略，把未学过的图形面积转化成已学过的图形面积进行计算。师生在交流时如果仅仅靠语言叙述，显然不够清楚，不能很好讲清转化的过程。在这里就要运用直观的演示方法，根据学生回答用课件同步演示（如图1），展现转化的具体过程，帮助学生有效理解“转化”的内涵。

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图1 图2-1 图2-2

在教学用转化策略“求不规则图形周长”时，有这样一个问题：如图2-1，求该图形的周长。显然，用常规思路把这个图形的每一条边的长度加起来计算它的周长，条件是不够的。这时就可启发学生讨论，利用转化策略将图2-1转化成什么样的图形来计算周长。在师生交流的中及时运用课件动态演示转化成长方形的过程（如图2-2），有效地在学生的头脑中建立了平移转化的表象，帮助学生准确理解了平移转化的方法。在这个教学过程中用图形直观、动态的演示转化的过程比语言的描述更有效。

二、运用直观示意图分析问题，让学生学会分析问题的方法

“培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”是数学教学的一个重要目标。复杂的数学问题往往数量关系比较抽象、隐蔽，让学生学会画直观示意图分析问题是非常重要的。通过用直观的示意图，可以把问题情境中的条件和问题用直观的图形、符号把问题呈现出来，可以把看不见的思维过程显现出来、固化下来，对于学生进一步思考、发现思路，都有很大的帮助。所以教学中要教会学生运用直观示意图来分析问题，找到解决问题的方法。

例如，习题：“有三堆围棋子，每堆60枚。第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有■是白子。这三堆棋子一共有白子多少枚？”学生发现根据“第三堆的白子是60的■”能算出第三堆白子的个数，而“第一堆和第二堆各有多少个白子”，题目中没有说明，只看文字叙述理不出头绪。此时，我启发学生用线段图画一画，表示出第一堆和第二堆中的黑子和白子，看看有什么发现。学生画出线段图后马上就找到解决问题的方法了（如图3）。根据题意，第一堆和第二堆棋子的总数同样多，而第一堆的黑子和第二堆的白子同样多，那么反过来第一堆的白子和第二堆的黑子也是同样多的。通过线段图，学生发现第一堆的白子和第二堆的白子加起来正好等于一堆围棋子的个数，是60个，不需要去求第一堆和第二堆各有多少个白子，就能算出三堆棋子中一共有多少个白子了。通过直观的线段图学生就理解了隐含在文字中的数量关系。

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图3 图4

再如，课本的一道思考题：“有两枝蜡烛，当第一枝燃去■，第二枝燃去■时，它们剩下的部分一样长。两枝蜡烛原来长度的比是多少？”让学生画图来理解也是很好的方法（如图4）。可以根据两枝蜡烛剩下的长度相等先画出两根蜡烛剩下的部分，第一枝燃去■，说明是剩下的占整个蜡烛的■，也就是剩下的占1份，原来是5份。第二枝燃去■，剩下的占原来的■，说明第二枝原来有这样的3份。通过直观线段图很清楚地看出两枝蜡烛原来的长度比是5∶3。所以，在解决数量关系较复杂的数学问题时，让学生学会运用画示意图来分析数量关系，学生也就掌握了解决实际问题的一个重要法宝。

三、发挥数形结合优势，帮助学生对算理深层建构

在解决一些有关代数领域数学问题时，通过教师的指导，学生能掌握解题方法，但对算理理解较难，常常是知其然，而不知其所以然，只停留在模仿的阶段。华罗庚先生曾形象地说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。”教学中有些代数问题转化成图形来思考，常常会有很好的效果，能帮助学生对知识进行深层建构，加深对算理的理解。

比如，在教学例题“■+■+■+■”简便算法的算理时，启发学生思考：这个算式为什么可以转换成“1-■”来计算。用一个正方形表示单位“1”，把正方形平均分成2份，其中的1份就表示■；把剩下的■再平均分成2份，其中的1份就表示■；再把剩下■平均分成2份，其中的1份就表示■；最后把■平均分成2份，其中的1份就表示■，最后剩下的部分也是■（如图5）。通过画图学生就能理解“求这4个分数相加的和”，也可以用单位“1”减去空白部分，用“1-■”来计算更方便。用数形结合的方法，学生就理解了简便算法的算理。

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图5 图6

为了加深学生对算理的理解，再提出“■+■+■+■”能不能用“1-”来计算，引发学生进一步思考。让学生自己尝试画示意图，做出解释。学生通过画图（如图6），就能看出，如果用“1-■”，算出来结果里还多了一个■，结果就不正确了。从而使学生认识到这样的分数连加算式的简便计算，必须有特定的条件，必须从■开始加起，而且后一个分数的分母要是前一个分母的两倍，才能转化成“用1减最后一个分数”的方法求这个连加算式的和。数形结合，使教学中的难点得到了有效的解决。endprint

四、通过直观符号表示的数量关系式，培养学生的初步模型思想

“几何直观”理念中所指的“图形”不仅局限于几何图形，运算符号、方框、箭头等直观的符号表示出的图示语言，甚至用图形、文字、字母表示出来的数量关系式都有把数学问题变得简明、形象的作用，有助于探索解决问题的思路。所以用符号、文字表示的数量关系式可以看成是一种特殊“直观”。

例如，练习题：“如图7，阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环形部分的面积。”学生初看题目，感觉无从下手，因为要求圆环面积要用“外圆面积-内圆的面积”，要知道外圆和内圆的半径，但题目中并没有给出。我让学生在图中先用字母R和r分别表示出外圆和内圆的半径，把从题目中发现的等量关系式，把它们都写出来，同桌交流，看看有什么发现。学生写出“3.14×（R2-r2）=圆环面积，R2-r2=50平方厘米。”我把两个等量关系式上下放在一起（如图8），让学生观察两个等量关系式有什么联系。学生很快发现第一个等式中“R2-r2”的差就是50，这里不需要知道外圆半径和内圆半径就能求出圆环的面积，即3.14×50=157平方厘米。把题中的等量关系式写出来，能直观地看到数量之间的联系。

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再如，“王阿姨在水果超市买了3千克苹果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也买了同样的3千克苹果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克苹果和每千克荔枝各多少钱？”题目中苹果和荔枝的单价都是未知量，但是问题中单价和总价之间的等量关系却很明晰。让学生先用文字或者图形简单地写出等量关系式（如图9），再让学生观察两个等量关系式之间的联系，通过观察等量关系式，学生发现“苹果的千克数量相等”，“李阿姨比王阿姨多买了2千克荔枝”，这样问题就转换成“多买的2千克荔枝是25元”。从而可以求出每千克荔枝的价格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根据等量关系式可以倒推出苹果的价格是10元。这里通过写简单文字表示的等量关系式，让学生直观地看到多出的2千克荔枝和多花的35元钱的对应关系，学生分析理解起来就显得更容易了。

这些用字母、符号、文字表示的等量关系式虽然是数量关系的抽象表达，相对于文字的抽象来讲，却是一种“直观”的表达，有助于学生理解、分析问题。课程标准指出：“建立和求解模型是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果意义的过程。”所以在教给学生用图形、符号表示的数量关系式分析问题的过程中，学生的建模意识和能力也能得到有效的培养。

总之，正如课程标准所说，“几何直观”在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用，在教学中我们要充分学习、领会“几何直观”理念的深刻内涵，教学中有效、适时地加以运用，就能帮助学生更好地学习数学，提升学生的数学素养。

（责编 金 铃）endprint

四、通过直观符号表示的数量关系式，培养学生的初步模型思想

“几何直观”理念中所指的“图形”不仅局限于几何图形，运算符号、方框、箭头等直观的符号表示出的图示语言，甚至用图形、文字、字母表示出来的数量关系式都有把数学问题变得简明、形象的作用，有助于探索解决问题的思路。所以用符号、文字表示的数量关系式可以看成是一种特殊“直观”。

例如，练习题：“如图7，阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环形部分的面积。”学生初看题目，感觉无从下手，因为要求圆环面积要用“外圆面积-内圆的面积”，要知道外圆和内圆的半径，但题目中并没有给出。我让学生在图中先用字母R和r分别表示出外圆和内圆的半径，把从题目中发现的等量关系式，把它们都写出来，同桌交流，看看有什么发现。学生写出“3.14×（R2-r2）=圆环面积，R2-r2=50平方厘米。”我把两个等量关系式上下放在一起（如图8），让学生观察两个等量关系式有什么联系。学生很快发现第一个等式中“R2-r2”的差就是50，这里不需要知道外圆半径和内圆半径就能求出圆环的面积，即3.14×50=157平方厘米。把题中的等量关系式写出来，能直观地看到数量之间的联系。

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再如，“王阿姨在水果超市买了3千克苹果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也买了同样的3千克苹果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克苹果和每千克荔枝各多少钱？”题目中苹果和荔枝的单价都是未知量，但是问题中单价和总价之间的等量关系却很明晰。让学生先用文字或者图形简单地写出等量关系式（如图9），再让学生观察两个等量关系式之间的联系，通过观察等量关系式，学生发现“苹果的千克数量相等”，“李阿姨比王阿姨多买了2千克荔枝”，这样问题就转换成“多买的2千克荔枝是25元”。从而可以求出每千克荔枝的价格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根据等量关系式可以倒推出苹果的价格是10元。这里通过写简单文字表示的等量关系式，让学生直观地看到多出的2千克荔枝和多花的35元钱的对应关系，学生分析理解起来就显得更容易了。

这些用字母、符号、文字表示的等量关系式虽然是数量关系的抽象表达，相对于文字的抽象来讲，却是一种“直观”的表达，有助于学生理解、分析问题。课程标准指出：“建立和求解模型是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果意义的过程。”所以在教给学生用图形、符号表示的数量关系式分析问题的过程中，学生的建模意识和能力也能得到有效的培养。

总之，正如课程标准所说，“几何直观”在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用，在教学中我们要充分学习、领会“几何直观”理念的深刻内涵，教学中有效、适时地加以运用，就能帮助学生更好地学习数学，提升学生的数学素养。

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四、通过直观符号表示的数量关系式，培养学生的初步模型思想

“几何直观”理念中所指的“图形”不仅局限于几何图形，运算符号、方框、箭头等直观的符号表示出的图示语言，甚至用图形、文字、字母表示出来的数量关系式都有把数学问题变得简明、形象的作用，有助于探索解决问题的思路。所以用符号、文字表示的数量关系式可以看成是一种特殊“直观”。

例如，练习题：“如图7，阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环形部分的面积。”学生初看题目，感觉无从下手，因为要求圆环面积要用“外圆面积-内圆的面积”，要知道外圆和内圆的半径，但题目中并没有给出。我让学生在图中先用字母R和r分别表示出外圆和内圆的半径，把从题目中发现的等量关系式，把它们都写出来，同桌交流，看看有什么发现。学生写出“3.14×（R2-r2）=圆环面积，R2-r2=50平方厘米。”我把两个等量关系式上下放在一起（如图8），让学生观察两个等量关系式有什么联系。学生很快发现第一个等式中“R2-r2”的差就是50，这里不需要知道外圆半径和内圆半径就能求出圆环的面积，即3.14×50=157平方厘米。把题中的等量关系式写出来，能直观地看到数量之间的联系。

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再如，“王阿姨在水果超市买了3千克苹果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也买了同样的3千克苹果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克苹果和每千克荔枝各多少钱？”题目中苹果和荔枝的单价都是未知量，但是问题中单价和总价之间的等量关系却很明晰。让学生先用文字或者图形简单地写出等量关系式（如图9），再让学生观察两个等量关系式之间的联系，通过观察等量关系式，学生发现“苹果的千克数量相等”，“李阿姨比王阿姨多买了2千克荔枝”，这样问题就转换成“多买的2千克荔枝是25元”。从而可以求出每千克荔枝的价格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根据等量关系式可以倒推出苹果的价格是10元。这里通过写简单文字表示的等量关系式，让学生直观地看到多出的2千克荔枝和多花的35元钱的对应关系，学生分析理解起来就显得更容易了。

这些用字母、符号、文字表示的等量关系式虽然是数量关系的抽象表达，相对于文字的抽象来讲，却是一种“直观”的表达，有助于学生理解、分析问题。课程标准指出：“建立和求解模型是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果意义的过程。”所以在教给学生用图形、符号表示的数量关系式分析问题的过程中，学生的建模意识和能力也能得到有效的培养。

总之，正如课程标准所说，“几何直观”在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用，在教学中我们要充分学习、领会“几何直观”理念的深刻内涵，教学中有效、适时地加以运用，就能帮助学生更好地学习数学，提升学生的数学素养。

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