二面角的求法复习

●吴旻玲

(嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314050)

二面角的求法复习

●吴旻玲

(嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314050)

2012年11月6～7日，由本刊主办的浙江省首届高中数学复习教学有效性研讨会在浙江省嘉兴市第一中学举行.在研讨会上，笔者执教了高三第一轮复习课“二面角的求法”.

1 课堂实录

1.1 分析考情，引入课题

(投影：近3年高考立体几何考查内容统计表、考试说明.)

教师：你知道什么是二面角吗？

学生：有一条直线和从这条直线出发的2个半平面构成的图形称为二面角.

教师：二面角的大小用什么来度量？

学生：二面角的平面角，范围是[0,π].

教师：很好.考试说明对二面角的要求是“理解”，我们不仅要知道二面角的概念，还要会熟练地求解二面角.今天，我们就一起来复习二面角的求法.

图1

1.2 具体实例，回顾方法

(1)二面角B-AP-D的大小.

学生：90°.因为AB⊥PA,AD⊥PA,所以∠BAD即二面角B-AP-D的平面角.

教师：很好.由二面角平面角的定义(如图2)，我们解决了这个问题.

(板书：定义法.)

图2 图3 图4

由图3也可以看出，棱与直线a,b所在平面垂直，因此我们也可以作出棱的一个垂面，找到这个面和已知2个半平面的交线，从而找出平面角.

(板书：作棱的垂面.)

(2)二面角A-PC-B的平面角的余弦值.

学生：作BH⊥AC，又AP⊥BH，因此BH⊥面APC，得BH⊥PC.

作BE⊥PC于点E，联结EH.因为PC⊥面BEH，所以PC⊥BE，PC⊥EH,由定义可知，∠BEH即二面角的平面角.

(学生口述，教师板书.)

教师：为什么要作BH⊥AC呢？

学生：因为平面PAC与平面ABC垂直，只要作交线的垂线，就能从面面垂直的性质得到线面垂直.

教师：非常好，这也是我们作一个面的垂线常用的方法.在此题中，通过在一个面内过一个点作另一个面的垂线，再过这个点作棱的垂线，然后联结2个垂足，根据线面垂直的性质，可直接找出二面角的平面角,如图4.你能快速给出解答吗？

(板书：作其中一个面的垂线.)

从而

(3)平面PAB与平面PCD所成的锐角.

教师：这个二面角与前面的二面角不一样，它没有棱，只有一个交点.这2个面会不会只有一个交点呢？

学生：不会，根据公理2，2个平面相交，一定有1条交线.

教师：那这条交线在哪里呢？

学生1：过点P作AB的平行线，这条直线就是二面角的棱.

教师：你是怎么找到这条直线的？为什么这条直线与AB，CD平行呢？

教师：直线CD与平面PAB是什么关系？

学生1：平行.

教师：而二面角的棱是平面PAB与平面PCD的交线，那么……

学生1：由线面平行的性质，过直线CD的平面PCD与平面PAB的交线与CD平行.

教师：很好，由线面平行的性质可以找出这条隐形棱.那二面角的平面角可以找到了吗？

图5

学生1：∠APD就是平面角.

(板书：补棱.)

学生2：还可以把这个图形补成一个长方体，如图5，这样只要求二面角A-PQ-D的大小就可以了.

教师：非常好，通过补形,将这个无棱二面角变成了一个常规的二面角,问题也就迎刃而解了.补形是我们在解决立体几何问题时常用的方法.

学生3:可以找2个面的垂线.作AG⊥PD,可以证明AG⊥平面PCD,而AD⊥平面PAB,那么二面角的大小可以转化成AG,AD所成角.

教师：很好，这个类似于用平面的法向量求2个平面所成的角.需要注意的是，直线所成角与二面角的范围是不一样的，可能会是补角.

(板书：找2个面的垂面.)

教师：如果这是个选择题或者填空题，还有更快捷的方法吗？

学生4：可以用面积法.

教师：好的，但是这个方法不太适用于解答题.

(板书：面积法.)

教师：以上这些方法，是我们求二面角常用的几种途径.求二面角的平面角有以下几种途径：①利用定义；②作棱的垂面；③作面的垂线；④无棱二面角：寻找隐形的棱、找2个面的垂线、面积法……

(4)过点B作AC的垂线交AD于点E，取PC的中点F，求平面BEF与面BAP所成的角.

教师：这也是一个无棱的二面角，刚才我们已经研究了无棱二面角的几种求法，现在到了你自己选择最优方法的时候，请思考.

图6 图7

学生：如图6，跟第(3)小题类似，只要找到面BEF的垂线，即PC.因此平面BEF与平面BAP所成的角也就是PC,BC所成角，即∠PCB=45°.

教师：非常好.这是2010年陕西省数学高考题，解题的关键在于找到平面BEF的垂线.在解题时，往往有很多种途径，这就要求我们能很快地筛选出适合这道题目的最优方法.这需要我们在平时不断地去尝试、积累经验.

1.3 变式教学，提升能力

(1)求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

学生5(投影)：取AB的中点E，联结CE，则CE⊥面PAB.作CF⊥PB，联结EF，则PB⊥面EFC，从而PB⊥EF,PB⊥FC,因此∠EFC即所求角.

教师：这位同学用了我们前面复习的作另一个面的垂线的方法作出了二面角的平面角，并将它放入一个直角三角形中求解.在求CF的时候，用到了面积转换法，这是求点线距离的一种常用方法.

学生6(投影)：设H为点C在平面PAB内的射影.因为VP-ABC=VC-PAB,所以

教师：从一个面内找一个点作另一个面的垂线是难点，有时垂足很难找到.这位同学用体积转换法求点到面的距离，不需要找到垂足，是一种很好的方法.

学生：联结AC交BD于点O，则OQ⊥BD,OC⊥BD，∠QOC即二面角Q-BD-C的平面角.

教师：很好，由定义找出平面角.怎么求解呢？

学生：如图8，放到△PAC里求解.

图8

教师：非常好.我们在计算立体几何中的数量关系时，常常把要求解的问题放到平面中去解决，这体现了一种化归的思想，转化与化归思想是我们高中数学学习中重要的数学思想之一.下面我们一起来解决这个问题(学生口述，教师板书).

……

教师：我们可以发现，当点Q为靠近C的三等分点时，满足题意.若我们在PB,PD上各取中点M,N，你能找出二面角A-MN-Q的平面角吗？

学生：取MN的中点S，根据定义，∠ASQ就是所求的平面角.

教师：这就是2012年浙江省数学高考题.我们已经解决了其中的第一步，剩下的部分留作大家的课后作业.

1.4 课堂小结，总结升华

教师：这节课你有什么收获呢？请从数学知识、方法、思想这3个方面来说明.

学生：巩固了二面角的概念、复习了求二面角的几种方法、体会了转化与化归的思想.

图9

1.5 作业布置，巩固提升

(2012年浙江省数学高考理科试题)

2 教学反思

本节课是有关“二面角”的高三第一轮复习课，在本课题之前，学生已经复习了平面与平面平行、垂直的判定及性质，具备了一定的空间想象能力和求解论证的能力.本节课的内容是高考中立体几何考查的重点内容之一，因此，笔者特意安排了一节课专门复习二面角的求法.由于还未复习空间向量的内容，因此在本节课的设计中并未涉及用空间向量求解二面角的方法，有待于后面继续学习.

本节课的重点是二面角平面角的概念和作法.因此设计了问题1中的前3个小题，用以巩固二面角的概念，通过具体的实例，提炼寻找二面角平面角的常用方法.问题1的第(4)小题，则让学生体验如何在已有的方法中选择最优方法来求解，提高解题效率.

本节课的难点是如何作二面角的平面角.在教学过程中，特别关注学生在作平面角过程中的体验，在学生自主思考和回答的基础上，教师及时地点拨和总结，师生共同体会作平面角的关键步骤和方法，比如如何借助面面垂直的性质作另一个面的垂线、在难以作出垂线的情况下又如何用其他的方法求解等.通过教师层层递进的问题，学生亲自动手的体验，逐步突破难点.

问题2的设计是问题1的变式和拓展，将问题1的点定求角问题，变化成为了角定求点问题，将学生的思维引向了一个更高的层次.期望通过这些问题的解决，使学生体会转化与化归的思想，提高学生空间想象能力和运算求解能力.

2.1 成功之处

本节课的内容是高考中立体几何考查的重点内容，教师对例题的选择精到且典型，思维张力大，教学密度高.从问题中引出概念、提炼方法，有效地变化和延伸，层层递进，巧妙地实现知识的拓展与迁移.问题设置由浅入深、环环相扣，将学生思维牢牢吸引，与教师一起钻研和求证.整堂课师生在一同探求知识的同时，还非常注重数学思想和方法的学习.

2.2 几点遗憾

课题以高考考情分析和考纲分析引入，让学生明白本课题在高考中的重要地位.这样做目的明确，但难以激发学生学习本课题的兴趣.

课堂容量稍大.问题1的前3个小题用以复习概念、提炼方法，第(4)小题让学生体会如何选择最优方法.问题2的第(1)小题与问题1的第(2)小题题型有雷同，所用时间较多，且学生思维层次没有得到提高，导致后面的问题时间紧张，有虎头蛇尾之感.

由于课堂容量大，教师的课堂节奏较快，在学生思考时有牵着学生走的感觉，以教师的思维引导和替代学生的思维.

2.3 如何设计一节有效的立体几何复习课

本次研讨会的主题是“数学复习的有效性研究”，这也是一直萦绕着笔者的一个难题.很多高三教师都觉得，立体几何复习课不好上，那么怎样的立体几何复习课才是有效的呢？以下是笔者的一点看法.

2.3.1 以生为本，以学定教

任何一节课都应遵循“以学生发展为本”的新课程理念，让学生在教师的帮助和指导下，有意识、有兴趣地参与课堂教学活动，感受知识的学习过程，才能实现知识的有效迁移与重组，才能真正的实现课堂的高效.同时，也只有根据学生身心发展规律及其学习情况来确定教学内容和教学方式，也即“以学定教”，才能获得真正符合学生认知发展的教学设计，使得学生在有限的40分钟课堂内学到更多的知识和方法.

2.3.2 问题成串，引导思维

问题是引发学生思维与探索活动的向导，是学生课堂活动的载体，有效的问题能激发学生的好奇心和求知欲.通过问题，可以把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机联系起来，使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构；通过问题，能使学生主动探究、发现问题、理解数学本质.但是，问题不是越多越好，应该从问题能否引发学生认知冲突、能否激发学生求知欲望、能否帮助学生发现数学规律、能否帮助学生理解数学本质等方面来衡量问题的好坏与有效性.

2.3.3 舍得放手，培养能力

高三复习课，教师的讲授仍然是最重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动.尤其在课堂上，要舍得放手，留出让学生思考的时间和空间.授人以鱼不如授人以渔，教师要教会学生学习的方法，要培养学生学习的能力，而不是以自己的思维代替学生的思维.当然，学习能力的培养重在平时,比如空间想象能力的培养，绝不是一、两节课就能达成的，平时可通过让学生自己作图、学会看图来增加空间感觉，通过图形转化、构造新图形等等，来培养空间的想象能力.能力的培养，渗透在每一堂课的教学之中；能力的培养，任何时候开始都不算早.