利用三角形中一个平面向量定理解题

●高 召

(三门峡市第一高级中学 河南三门峡 472000)

利用三角形中一个平面向量定理解题

●高 召

(三门峡市第一高级中学 河南三门峡 472000)

定理若P是△ABC内一点，SB,SC,S分别表示△APC,△APB,△ABC的面积，则

1 定理的证明

证明如图1，当点P不在直线AB,AC上时，过点P分别作AC和AB的平行线，交AB和AC于点D,E,则

当点P在直线AB或AC上时，容易验证结论也成立．

图1 图2

2 定理的应用

例1

( )

(2006年陕西省高中数学联赛预赛试题)

( )

(2004年全国高中数学联赛试题)

分析记△ABC,△BOC,△COA,△AOB的面积分别为S，SA，SB，SC，由定理得

(2005年中国奥林匹克选拔赛试题)

证明记△ABC的面积为S,由定理得

于是

图3 图4

(2006年吉林省高中数学联赛预赛试题)

分析借助例3的结论可得

SA∶SB∶SC=3∶4∶5，

于是

S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=5∶3∶4．

3 定理的推论

当点P分别为△ABC的重心、内心、外心、垂心、旁心时，能导出一组结构优美的结论．

推论在△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，则

(1)当点P为△ABC的重心G时，

(2)当点P为△ABC的内心I时，

(3)当点P为△ABC的外心O时，

(4)当点P为△ABC的垂心H时，

(5)当点P分别为∠A,∠B,∠C内的旁心Ia,Ib,Ic时，

证明(1)当点P为△ABC的重心G时，

代入定理可知推论(1)成立．

(2)当点P为△ABC的内心I时，

代入定理可知推论(2)成立．

(3)当点P为△ABC的外心O时，

代入定理可知推论(3)成立．

(4)当点P为△ABC的垂心H时，

同理可得

代入定理可知推论(4)成立．

(5)当点P为△ABC的∠A内的旁心Ia时，设其旁切圆半径为ra，因为

所以

代入定理可得

当点P分别为△ABC的内的∠B,∠C旁心Ib,Ic时，同理可证其他两式成立．

从而

从而

因此

由推论(3)得

分析在等腰△ABC中，由AB=AC=5,BC=8，得

从而

由推论(4)得

综上可知，对于涉及到三角形面积的向量问题，灵活合理地使用上述定理或推论，可以使问题的解决更简单流畅．