基于动力学及切削特性耦合的数控机床结构设计

杨毅青，刘 强，申江丽，田 恺

(北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京 100191)

随着高速切削技术的发展，人们对零件加工质量的要求不断提高，从而不断给数控机床的设计带来新的挑战。当前，机床结构设计中的建模方法主要包括有限元法，集中参数法，传递矩阵法等。Bianchi等［1］在高速机床的设计阶段使用有限元法，从而可评价机械部件及控制系统对整机动力学特性的影响。Zaeh等［2］采用有限元技术对机床的进给系统进行建模，可模拟位置及速度控制环的响应，同时将其应用于整机的有限元模型中。Tlusty等［3］建立了五自由度的立铣床集中参数模型，模型的分析结果与试验数据较一致;但受实验条件的限制，模型仅考虑了较少的机床模态。Zhang等［4］在建立包含集中参数模型与结合面动力学模型的基础上，采用响应耦合的方法预测出机床设计阶段的整机动力学特性。吴文镜等［5］提出一种适合机床动态分析的拓展传递矩阵法，通过将机械系统划分为刚体、柔体和结合面三类元件，应用该方法于直线电机驱动的进给功能部件的动力学建模与分析。丁洪生等［6］以机床刚度为目标，应用Matlab优化工具箱中的序列二次规划法对机床上下平台的结构参数进行优化。戴磊等［7］以降低车床质量及提高结构刚度和自振频率为目的，采用自主开发的三维参数化结构形状设计平台对车床导轨进行优化。切削特性是评价数控机床性能的重要指标，但是上述研究工作中的机床建模以及在此基础上的设计优化均没有综合考虑机床结构特性和加工特性的影响。Altintas等［8］对目前虚拟机床设计中的运动学、有限元、刚柔耦合等分析技术进行了讨论，认为机床结构、加工过程的集成仿真以及耦合分析尚没有很好地应用于工程实际。

切削颤振是制约数控机床使用效能的重要因素。颤振的发生导致工件表面质量恶化，刀具磨损加剧以及主轴功率剧增。针对颤振发生的机理，人们进行了大量的研究，提出并采用颤振稳定域图进行预测［9］。颤振稳定域图可反映机床/刀具/工件系统的切削稳定性，通常以“主轴转速-切深”曲线来表示;曲线以下的区域为切削稳定区，曲线以上的区域为非稳定区。以实验室自主研发的立卧转换四轴联动数控机床为对象，本文拟研究数控机床结构设计中的动力学特性与加工特性耦合分析方法。结合实验模态分析技术及颤振稳定域预测，分析导致机床切削性能降低的结构设计上的不足，进而将加工特性作为反馈环节来改进机床结构的动力学特性。

1 立卧转换四轴联动数控机床结构

图1为实验室自主研发的立卧转换四轴联动数控机床实验平台;控制系统的开发是基于北航自主研发的CH-2010/MONC开放式数控系统平台。机床由直线电机驱动，主轴头部分为两自由度非对称式并联机构。测试后的机床部分性能指标如表1 所示［10］。

图1 立卧转换四轴联动数控机床实验平台Fig.1 Four-axis vertical-horizontal conversion milling machine

表1 机床部分性能指标参数Tab.1 Data sheet of the machine tool

2 结构动力学及切削特性耦合分析

结合文献［9］中的算法，本文拟将颤振稳定域图扩展到三维，即预测系列切宽下主轴转速与切深之间的稳定域图，以更全面的获得机床的切削性能。

2.1 铣削颤振稳定域理论

在铣削加工中，可将刀具简化为X、Y平面内的两自由度系统(图 2)［9］。

图2 机床-刀具系统动力学模型Fig.2 Dynamic model of the machine tool＆ cutting tool

考虑到刀具和工件的弹性，加工后的工件表面受切削力影响将留下振纹uj(径向)、vj(切向)，如图2所示。因此，刀齿的动态切削厚度h(φj)可表示为静态切削厚度(ftsinφj)与切削振纹的叠加:

式中:ft为每齿进给量，φj为当前刀齿角位移，uj，uj0分别为刀齿j和前一刀齿(j-1)切削时因刀具和工件振动所产生的动态位移，c、w分别表示刀具和工件。g(φj)为单位阶跃函数:

式中:φst与φex分别为铣刀的切入角和切出角。采用线性切削力模型，即假定切削力与切削厚度成正比，则:

其中:Ftj、Frj为刀齿j的切向力与径向力，Ktc、Kte为切向切削力系数与刃口力系数，Kr为径向切削力系数，a为切深。将Ftj、Frj投影到X、Y方向，则作用于刀齿j上的切削力分量为:

将所有刀齿上的切削力相加，并将式(3)代入式(4)，可将切削力{F(t)}={Fxj;Fyj}表示成如下矩阵形式:

［Ф(iωc)］为切削区域的频响函数矩阵，可通过锤击实验激励刀具及工件而获得，ωc为颤振频率，i为虚数单位，A(t)为方向系数矩阵［9］。求解特征方程(5)，可获得不同主轴转速下的稳定临界切深，即铣削颤振稳定域图。考虑不同切宽，重复求解上述过程，即可获得三维颤振稳定域图及颤振频率图。具体流程图如图3。

图3 颤振稳定域(主轴转速-切宽-切深)预测流程图Fig.3 Flow chart of the chatter stability(spindle speed-width of cut-depth of cut)prediction

图3中，∧R、∧I分别为方程(5)特征根的实部与虚部，T为主轴旋转周期，n为主轴转速，N为刀齿数。alim对应于主轴转速n时的临界切深;当切削加工时的选用切深大于alim时，切削过程将处于不稳定状态，否之则为稳定。

2.2 数控机床颤振稳定域预测

根据上述流程图，预测表2所示切削条件下机床的颤振稳定域图及颤振频率如图4与图5所示。

图4中，曲面以下的区域为稳定切削区，曲面以上的区域为不稳定切削区。由图可得，随着切宽的增加，该机床的最小稳定临界切深逐渐降低。当切宽为1 mm时，最小稳定临界切深为5.7 mm;当切宽为刀具直径，即槽铣时，最小稳定临界切深仅为0.22 mm。对照不同主轴转速下颤振发生的频率，主要集中在330～360 Hz之间(图5)。在获取整机的加工特性后，需对机床的动力学特性进行测试，以寻找结构设计中的缺陷并提出改进措施。

表2 颤振稳定域仿真的切削条件Tab.2 Cutting conditions of the chatter stability simulation

图4 颤振稳定域图(主轴转速-切宽-切深)Fig.4 Chatter stability(spindle speed-width of cut-depth of cut)

图5 颤振频率图(主轴转速-切宽-频率)Fig.5 Chatter frequency(spindle speed-width of cut-frequency)

2.3 模态测试及分析

采用锤击实验对整机进行模态测试(单点激励，多点拾振，共采集93个拾振点沿机床坐标系X、Y、Z轴三个方向的响应)。模态测试系统包括:PCB中性力锤(086C41)，PCB三向加速度计(356A17)以及DASP数据采集及分析系统。图6为测试获得的加速度频响函数的集中显示。频响函数的波峰反映了结构模态的存在，由于所有频响函数来自同一结构，因此可以看到各条测试频响函数在低频段(＜300 Hz)的波峰相对整齐。但随着频段的增加，机床的振型更多地表现为局部振动的形式，故而高频模态捕捉的难度也逐渐增加。相对低频段，高频段的波峰较显凌乱。

对测试频响函数进行参数辨识，可获得各阶模态参数(表3)及振型(图7)。其中，机床的第1阶振型(30.3 Hz)为刚体模态，表现为整机绕Y轴的振动;第2阶振型(62.2 Hz)为立柱及工作台绕Z轴的扭转，但相位相反。

图6 模态测试所获取的机床频响函数Fig.6 Experiment frequency response functions of the machine tool

表3 机床模态参数Tab.3 Modal parameters of the machine tool

2.4 数控机床耦合分析

如图5所示，颤振频率集中在330～360 Hz之间。由于颤振通常发生在系统某阶固有频率的附近［9］，可以推断主要由机床的第8阶模态(326.1 Hz)引起。振型动画显示该模态的振动形式表现为主轴头沿Y轴的伸缩运动，同时工作台伴有的强烈扭转运动(图8)。因此，机床切削性能的提高可通过改善该阶模态的振动形式，即增加主轴头及工作台的刚度来实现。相比以往数控机床结构设计中单纯以提高系统低阶固有频率为目标的优化方法，通过结合动力学及加工特性的耦合分析，能更明确地分析出制约机床使用效能发挥的结构设计上的不足。

3 结构优化

图7 机床模态振型(深色线条为模态振型，浅色线条为静止位置)Fig.7 Mode shape of the machine tool(The line with deep colour illustrates the mode shape，and the line with shallow colour illustrates the static position)

图8 第8阶模态振型(326.1 Hz)Fig.8 Mode shape of the 8thmode(326.1 Hz)

由于初始设计时过于考虑对主轴头结构重量的控制，因此改进的措施主要包括适当增加筋板的厚度以及调整减重孔的分布，改进前后的结构对比如图9所示。分别对这两种设计方案进行谐响应分析，并获取刀尖处的频率响应特性(图10)。结果表明，改进后的主轴头第8阶模态的固有频率从326 Hz增加到333 Hz，系统动刚度约增加28.2%，抵抗颤振发生的能力得到明显加强。

4 结果与讨论

图9 主轴头结构改进前后对比Fig.9 Structure comparison of the spindle head after the modification

图10 主轴头结构改进前后的刀尖频响函数对比Fig.10 Comparison of the frequency response function of the tool tip after modifying the spindle head

本文在实验测试机床结构动力学特性的基础上，预测出机床的切削特性(再生颤振稳定域图);根据切削特性上存在的瓶颈环节(即较小的许用切深)，结合颤振频率的预测及整机动力学特性的分析结果，明确出机床结构设计中的不足并进行改进。再生颤振是发生在刀具与工件之间的一种强烈的相对振动，而结构的振动又源于各阶振型的叠加，因此在机床与工作台之间存在明显相对运动的振型都有可能引发颤振的发生。数控机床整机振型的获取通常采用实验模态分析技术。同时，根据颤振发生的机理，可进一步确定引起颤振发生的模态。

在实验模态分析中，需根据测试对象的不同选择分析频率的范围。由于数控机床本体的结构尺寸较大，低频模态较多，通常选择较小的分析频率范围以更准确地捕捉低频模态。因此，本文在对整机的分析中，选取的分析频率为600 Hz左右，以保证测试结果有较好的相干系数。但在颤振稳定域预测中，需要测试刀尖处的频响函数，涵盖了主轴单元以及刀具的动态特性，因此需要选择较大的分析频率范围(如5 000 Hz)。此时，预测出的稳定域瓣所对应的主轴转速能达到30 000 r/min以上，可涵盖电主轴的最高转速24 000 r/min。结合颤振稳定域预测可知，第8阶模态是引起颤振发生的主要原因，因而对其进行改进。

5 结论

以自主研发的立卧转换四轴联动数控机床为对象，研究了基于动力学及加工特性耦合的机床结构设计优化方法。首先结合切削加工中的颤振稳定域预测，获得机床的三维颤振稳定域图(主轴转速-切宽-切深)及颤振频率图(主轴转速-切宽-频率)。进而，采用实验模态技术对机床结构的动力学特性进行分析，获得各阶模态的可视化振型。分析结果表明，制约机床切削性能的主要因素是第8阶模态(326.1 Hz);根据振型可知，该模态的改善可通过增加主轴头及工作台的刚度来实现。上述方法的采用有利于明确引起机床切削性能降低的结构设计上的不足，并在后续工作中通过对机床结构的调整来实现切削性能的优化。

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