基于希尔伯特变换的非平稳调幅信号解调

胡异丁， 任伟新，杨 栋， 李 苗

(1.中南大学 土木工程学院，长沙 410075;2.五邑大学 信息工程学院，广东 江门 529020)

非平稳信号的分析是目前信号处理中的难点问题。非平稳信号泛指具有时变能量谱的确定性信号和具有时变功率谱的随机信号［1］。非平稳性可以具体体现为瞬态信号，或者对确定性和随机性信号的调幅和调频等形式［2］。在机械故障诊断、地震波信号、结构振动信号研究领域中采集到的振动信号中也往往包含着非平稳调制信号成分。因此，在振动信号处理等领域中，调制理论及其包络解调方法的研究一直是众多学者关注的热点。

希尔伯特变换平方解调是一种较常用的调幅信号的解调分析方法，其中，在一定条件下选取合适的截止频率的低通滤波器则可以获取调幅信号的包络。最近，Chen等［3］提出了一种新的信号分解方法-解析模态分解法，该方法可从信号中分离出各频带内的谐波成分。Felderman［4］对这种方法给出了理论解释，并认为它适合非平稳信号的低通滤波。本文利用Feldman的滤波器结合希尔伯特变换平方解调的方法得出，在满足一定条件下，可以将非平稳调幅信号进行解调，得到包络。

1 希尔伯特变换基本理论

希尔伯特变换是一种积分变换，信号x(t)的希尔伯特变换H［x(t)］定义为［5］:

可见，H［x(t)］是将信号x(t)与 1/πt卷积。因此，希尔伯特变换结果(t)可以理解成为:输入信号x(t)经过一个冲激响应为1/πt的线性时不变系统所产生的响应。

希尔伯特变换是一种线性的积分运算，对任意标量a1、a2以及信号x1(t)和x2(t)有H［a1x1(t)+a2x2(t)］=a1(t)+a2(t)。常数的希尔伯特变换为0。信号x(t)与(t)只是相位谱不同，而信号的幅度谱，能量谱或者功率谱都是相同的，能量或功率也相同。将信号x(t)经过两次希尔伯特变换后得到-x(t)。信号x(t)与其希尔伯特变换是正交的，即。正弦信号sin(t)的希尔伯特变换为-cos(t)，余弦信号cos(t)的希尔伯特变换为 sin(t)［6］。

2 一种基于希尔伯特变换的低通滤波器

Chen等［3］提出了基于希尔伯特变换的一种新的信号分解方法，可从振动时程信号中提取出密集频率的谐波成分。

Feldman［4］通过改进的Bedrosian公式证明了该分解方法，并做出了新的解释。对一由慢变成分s(t)与快变成分f(t)相加的信号x(t)，即x(t)=s(t)+f(t)，且慢变成分s(t)与快变成分f(t)在频带无重叠，若存在复函数Y(t)=y(t)+i(t)(其中(t)为y(t)的希尔伯特变换，且y2(t)+(t)=1)，其频谱处在慢变和快变成分的频谱之间，则有:

即可得到:

又:

因此可分离得到慢变成分s(t)

式(3)表明，只要慢变成分频谱成分(不仅仅是单个谐波)较由一对正交函数y(t)和(t)构成的复函数Y(t)的频率低，则可以通过希尔伯特变换被提取出来。

若定义正交函数的频率为某单一频率ωc，即Y(t)=y(t)+i(t)=cosωct+isinωct，代入式(3)可得:

式(4)表明任何低于正交函数频率ωc的慢变成分s(t)从信号x(t)中被提取出来，因而也可将其理解为希尔伯特变换低通滤波器，正交函数的频率ωc也可称为该低通滤波器的截止频率。显然，高于截止频率ωc的快变成分f(t)也同时被分离出来。

3 希尔伯特变换平方包络解调

如果信号x(t)由慢变信号s(t)与快变信号f(t)相乘，即x(t)=s(t)f(t)，这样就形成了调幅信号。为了避免过调幅设s(t)≥0。

令:

根据 Bedrosian 乘积定理［7］:

可得:

令r(t)=f2(t)+H2［f(t)］，显然r(t)≥0，因此必然包含直流成分。为了简化处理，这里假设快变信号是两个谐波信号之和:

f(t)的希尔伯特变换为:

或:

式(10)表明，r(t)主要包含了两个不同成分:一是常数部分为两个谐波幅度的平方和，另一部分为两谐波的差频成分［8］。将式(10)代入式(7)，得到:

令:

则:

设s(t)的最高频率分量为 ωmax，若 ω1-ω2≫2ωmax，则sA(t)和fA(t)频谱仍旧不发生混叠，利用前述希尔伯特低通滤波器，选择合适的截止频率ωc则可提取出慢变成分sA(t)。通过sA(t)可估计出慢变包络A(t):

可以看出，估计出的慢变包络与原始的包络仅仅是幅度不同。

本文方法适用的先决条件是确保Z(t)内的慢变成分仅有s2(t)项，也即sA(t)和fA(t)的频谱不发生混叠。在使用过程中截止频率ωc的选择可以通过经验或者实验中确定。

4 算例

4.1 慢变非平稳函数调制两个快变谐波之和

算例1:考虑慢变非平稳信号为线性调频信号s(t)=2+sin(2π×0.01×t2)，快变信号为两个谐波信号之和f(t)=0.1×cos(2π ×8t)+0.2×cos(2π ×22t)。调制以后的信号为x(t)=s(t)f(t)，如图1(a)所示，其短时傅里叶变换的时频谱如图1(b)所示。考虑到慢变成分的频带宽度，选择截止频率为6 Hz，提取的包络如图1(c)所示。图1(d)为解调后的快变成分的时频图。可见该方法能成功的完成非平稳调幅信号的解调。

图1 慢变非平稳函数调制两个谐波之和的信号的解调Fig.1 Demodulation of a slow non-stationary function modulating composition of two harmonics

图2 慢变间隔高斯脉冲调制快变线性调频信号的解调Fig.2 Demodulation of an interval gaussian function modulating linear frequency modulation signal

4.2 慢变非平稳函数调制非平稳快变成分

算例2:考虑一慢变间隔的高斯脉冲信号s(t)调制快变的线性调频信号f(t)=sin［2π ×(20-0.2t)×t］，即x(t)=s(t)f(t)，如图2(a)所示。其短时傅里叶变换的时频谱如图2(b)所示。考虑到慢变成分的频带宽度，选择截止频率为6 Hz，图2(c)和图2(d)分别为解调后的包络以及余下的快变成分的时频图。从图中可以看出慢变间隔的高斯脉冲和线性调频信号都能够很好地恢复出来。

5 结论

非平稳信号的分解是信号处理中的难点问题，振动信号处理等领域中非平稳调幅信号的解调一直受到关注。本文利用希尔伯特变换方法提取了非平稳调幅信号的包络，从而实现非平稳调幅信号的分解。该方法取决于包络成分和快变成分的频谱分布在一定条件下不发生混叠以及选取合适的截止频率，截止频率可以通过实验或者经验来选取。数值算例验证了该方法的有效性。

［1］刘本永.非平稳信号分析导论［M］.北京:国防工业出版社，2006.

［2］BorgnatP，Flandrin P. Time-frequency surrogates for nonstationary signal analysis［C］.8th IMA International Conference on Mathematics in Signal Processing，Cirencester，UK，2008.

［3］Chen G D，Wang Z C.A signal decomposition theorem with Hilbert transform and its application to narrowband time series with closely spaced frequency components［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2012，28:258-279.

［4］Feldman M.A signal decomposition or lowpass filtering with Hilberttransform ［J］. MechanicalSystemsand Signal Processing，2011，25(8):3205-3208.

［5］Hahn S L.Hilbert transform in signal processing［M］.Artech House，1996.

［6］Feldman M.Hilbert transform in vibration analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(3):735 802.

［7］Bedrosian E.A product theorem for hilbert transform［J］.Proceedings of the IEEE，1963，51:868-869.

［8］Feldman M.Hilbert transform applications in mechanical vibration［M］.John Wiley＆ Sons，2011.