基于模式搜索算法的结构被动控制系统参数优化研究

徐庆阳，李爱群，丁幼亮，胡灿阳

(1.南京审计学院国际审计学院 江苏公共工程审计重点实验室，南京 211815;2.东南大学 土木工程学院，东南大学混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京 210096)

设置被动控制系统的结构减震设计关键，在于合理地确定阻尼器的位置与参数［1］。较早的结构减震研究主要关注减震装置在结构中的可行性，并通过大量算例来对比不同参数或布置下减震效果的差异［2-3］，直接将优化方法应用于减震控制的研究还较少［4］，并且在进行减震结构优化分析时均要对结构进行简化［5］，影响了优化方法在复杂工程中的应用。

1 结构减震装置参数优化的数学模型

结构减震系统的优化需要确定设计变量、目标函数与约束条件来建立数学模型［6］。减震结构优化是期望在合理的减震成本基础上将地震作用下的结构响应降低到某一限值以下，其数学模型可以通过下式来表达:

式中:XL为减震装置位置变量，XC为减震装置参数变量，Rs为减震结构地震响应，Sd为减震装置的数量表达式。减震结构被动控制系统参数优化模型的目标函数无法表达为设计变量的具体函数形式，更无法求得其关于设计变量的导数或梯度函数。这就要求优化算法在搜索过程中不依靠目标函数的梯度、能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并能自适应地控制搜索过程。

减震参数优化问题中设计变量取值空间往往是连续的，寻优的过程为沿着可行解的取值范围进行搜索。仅仅利用目标函数值的信息直接建立搜索求解的方法称为直接搜索法(direct search method)。以往研究结果表明［7-8］，结构减震效果与减震装置主要参数的关系曲线往往为一单峰凹凸曲线，不依赖求导的搜索方法将在结构减震参数优化分析中具有较好的适用性［9］。

2 模式搜索算法原理及其实现

2.1 模式搜索算法理论基础

模式搜索算法解无约束优化问题的需要确定一个可供选择的搜索方向模式和一个试探性移动的准则。这个模式的一般表示式为矩阵［10］:

其中:B∈Rn×n称为基矩阵，在每一步迭代中是不变的。C∈Zn×p，称为生成矩阵，并记为:

Mk∈M⊂Zn×n，M是由整数元构成的n阶非奇异方阵的集合，Lk∈Zn×(p-2n)，至少包含一零向量列。模式搜索法的搜索方向一般取Pk的某一列，Ck包含零向量表明迭代中会出现不能移动的情况。

模式确定后，考虑进行试探性移动。对于步长Δk∈R，Δk＞0，定义试探步:

① sk∈ΔkPk≡Δk［BΓk，BLk］;② 若 min{f(xk+y)，y∈ΔkBΓk}＜f(xk)，则 f(xk+sk)＜f(xk)，这时记sk=sk’且 xk+1=xk+sk。sk是模式 Pk的某一列乘以步长Δk的得到的。条件②表明，只要前2n个方向中的某一个方向能使目标函数值得到下降，那么，sk也应该能使函数值得到下降。

2.2 基本模式搜索算法

当目标函数f(x1，x2，…，xn)无法用具体解析表达式来描述时，采用模式搜索法求解目标函数极值问题的计算步骤为［11］:

(1)任选初始近似点B1，以它为初始基点进行探索;

(2)为每一独立变量xi(i=1，2，…，n)选定步长为=［0，…，0，δi，0，…，0］。式中，Δi是第 i个分量为δi，而其他所有分量均为零的向量;

(3)计算出初始基点B1的目标函数值f(B1)，若点B1+Δ1的目标函数值f(B1+Δ1)＜ f(B1)，就以B1+Δ1为临时矢点，并记为T11。若B1+Δ1不比B1点准，就试验B1-Δ1，如果它比B1点准，就以它为临时矢点。否则，仍以B1为临时矢点。即:

对于下一个独立变量x2进行类似的摄动。这时，用临时矢点T11代替原来的基点B1。N个变量都摄动之后，得到临时矢点T1n，并令 T1n=B2，原来的基点B1和新基点B2确定了第一个模矢。

(4)将第一个模矢延长一倍，得到第二个模矢的初始矢点T20，T20=B1+2(B2-B1)=2B2-B1;

(5)在T20附近进行如上的探索，建立临时矢点T21，T22，…，T2n，以 T2n为第三个基点 B3。这样，B2、B3就确立了第二个模矢。第三个模矢初始矢点为T30，T30=B2+2(B3– B2)=2B3– B2;

(6)继续上述过程，对于第i个模矢，如果f(Ti0)＜f(Bi)，但沿各坐标方向的所有摄动均得不出比Ti0更好的点，则不把这个模矢延长。若f(Ti0)＜f(Bi)，且由Ti0产生不出比Bi更好的点，则退回到Bi，并在Bi附近进行探索。如果能得出新的下降点，即可引出新的模矢;否则，将步长缩小，以进行更精细的探查。当步长缩小到要求的精度时，即可停止迭代，确定已找到最优点。

2.3 约束问题的模式搜索算法

大部分优化问题均存在约束条件，包括等式约束和不等式约束。其形式如下:

解决此类优化问题的常用方法是罚函数法，利用目标函数f(x)和约束函数c(x)所构成的具有“罚性质”的函数［12］:

其中:σ＞0为常数，称为罚因子。

本文主要针对简单罚函数和乘子罚函数，结合前面的模式搜索算法，给出简单罚函数模式搜索算法和乘子罚函数算法。

3 模式搜索算法在减震优化中的实现

减震参数优化分析包含两个部分的内容:结构地震响应分析与模式搜索算法寻优。这里通过Matlab编制目标函数程序，实现模式搜索优化程序对减震结构有限元分析结果的调用，从而实现优化程序与有限元程序的互动，流程图1所示。

图1 结构减震优化的模式搜索算法流程图Fig1 Pattern search algorithm flowchart for seismic parameter optimization of reduction structure

3.1 多峰值多元函数最小化分析

为验证模式搜索算法在多峰值模型寻优过程中是否能有效准确地找到全局最优解，首先选取一典型多峰值函数Shubert函数，用来验证本文程序在多参数寻优分析中的有效性。

图2为该函数的三维示意图，具有两个独立变量x、y的Shubert函数定义如式(10)所示。该函数存在多个局部最小值，但仅存在唯一全局最小值。这里采用本文的优化程序来进行Shubert函数全局最优解的寻优，寻优过程与结果如图3所示。

图中左上为优化过程中目标函数值的变化过程，右上为优化过程中相对步长值的变化过程，左下为每一步寻优计算目标函数的次数，右下为最终得出的最优目标函数值。初始起点选择为［-1，-1］，寻优步数共计56步，最终因搜索相对步长小于设定限制而达到收敛。最优函数值为-186.730 9，对应自变量取值为［4.858 06，-0.800 32］。

图2 Shubert函数三维图形Fig.2 Three-dimensional graphic of Shubert function

图3 Shubert函数采用模式搜索算法优化过程Fig.3 Optimization process of Shubert function by using pattern search algorithm

图4 平面框架有限元模型Fig.4 Finite element model of plane frame

结果显示，采用模式搜索算法可以有效准确地求得多峰多元问题的全局最优解。

3.2 三层双跨平面框架减震参数优化分析

为进一步验证算法在结构减震参数优化分析中的可行性，选用一双跨三层混凝土框架进行分析。结构有限元模型如图4所示。框架柱截面面积0.16 m2，梁截面面积0.18 m2，粘滞流体阻尼器沿对角线布置。

设计变量为阻尼器的阻尼系数，目标函数为结构基底剪力，优化程序将寻找使结构基底剪力达到最小值所对应的阻尼系数。

图5 框架模型减震参数优化过程Fig.5 Damper parameter optimization process of one frame through pattern search algorithm

图6 平面排架有限元分析模型Fig.6 Finite element model of plane frame

初始阻尼系数定为50 000 N·s/m。图6为模型采用线性粘滞流体阻尼器减震参数优化的过程与优化结果，其中(a)为优化过程中目标函数值的变化过程，(b)为优化过程中相对步长值的变化过程，(c)为每一步寻优计算目标函数的次数，(d)为最终得出的最优目标函数值。结果显示最优阻尼系数为2 733 790 N·s/m，对应的结构基底剪力为39 928 N，未减震结构基底剪力为98 792 N，最优减震幅度达到59.58%。寻优步数共计46步，最后寻优步长小于设定值因而收敛。在第6步时目标函数已基本接近最优值。

4 平面排架减震参数优化分析

这里选取某单榀排架来进一步验证优化算法在减震参数优化分析中的可靠性与稳定性。该平面排架为某大跨机库结构中的一榀，上部为钢结构桁架，下部为钢筋混凝土支撑住，柱间设有斜撑。模型在支撑柱与上部钢结构节点之间设置粘滞流体阻尼器。钢结构杆件采用Link1单元，下部支撑柱采用Beam3单元，消能支撑采用Combin4单元来模拟。结构Ansys有限元模型如图6所示。

图8 Gengma波作用下消能支撑减震参数优化结果Fig.8 Damper parameter optimization process under Gengma seismic wave

在El-Centro与Gengma两条不同地震波作用下，优化模型以结构基底剪力的减震效果为目标函数，消能支撑参数优化分析结果如图7～8所示。

最优阻尼系数为38 849 kN·s/m，对应基底剪力减震幅度为47.96%，优化算法经过48步达到收敛，在第7步达到最优值。

最优阻尼系数为38 688 kN·s/m，对应基底剪力减震幅度26.71%，优化算法经过52步达到收敛，在第8步达到最优值。

上面的算例表明，地震波类别对阻尼器参数优化结果影响较小。优化算法达到收敛的寻优步数一般在50左右，但往往在10步左右即可达到或接近最优解，而后面的迭代对于最优解的改进仅仅是针对小数点后若干位的，因此该优化算法其实可以在很少的步数内寻找到最优解，具有较高的效率。

5 结论

本文选取模式搜索算法作为结构减震系统参数优化分析算法，在研究模式搜索算法的基本原理与实现技术基础上，编制了结构减震参数优化程序，通过多峰多元函数以及单榀框架模型对优化程序进行有效性与准确性验证，并通过一单榀排架验证了不同地震波下优化程序的稳定性。结果表明，不依赖目标函数导数的搜索方法将在结构减震参数优化分析中具有较好的适用性，寻优过程迅速。由于在求目标函数时利调用了有限元分析结果，而优化过程利用Matlab本身优化工具箱，因此本文方法结果具有较高的可信度与可行性。

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