一种局域共振型角式声子晶体梁

舒海生，郜 冶，张 法，高恩武，李世丹，董立强

(哈尔滨工程大学 机电工程学院702所，哈尔滨 150001)

局域共振型声子晶体能够实现小尺寸控制大波长，在工程减振领域具有十分重要的应用前景［1］。很多研究者［2－9］已经开展了从一维到三维的局域共振型声子晶体的研究，这些研究主要是针对不同的局域振子形状和材料以及不同的振动形式进行了分析，取得了很多重要的结论。在现有的一维声子晶体件的研究［5－10］中，大多是针对梁进行带隙计算和减振研究，一般只考虑单个方向的激扰，因而事实上是将其作为一维减振结构来分析的。工程实际中的激扰往往是多方向的，往往需要对多个自由度的振动激扰加以隔离或抑制，因此构造合理的声子晶体结构来获得多维减振性能显然具有十分重要的实际意义。本文首先通过分析局域共振型声子晶体梁的带隙特性和传递率曲线，说明了直梁仅具有二维减振能力，因而不能满足多维减振需求，然后提出了一类角式局域共振型声子晶体梁结构，并进行了传递矩阵推导和数值求解，结果对比表明了该角式声子晶体梁能够通过纵波和横波之间的波型转化，使得横向振动带隙的强衰减和宽频带特性得到有效的利用，最终实现了三维减振。

1 局域共振型声子晶体梁的振动带隙

梁的单个周期结构如图1所示，材料参数如下:

铝:密度2 799 kgm－3;杨氏模量 7.21e10 Pa;泊松比0.345 1。

硫化橡胶:密度1 300 kgm－3;杨氏模量1e6 Pa;泊松比 0.470 6。

铜:密度8 950 kgm－3;杨氏模量16.46e10 Pa;泊松比0.093。

图1 声子晶体梁单个周期结构Fig.1 Single period structure of straight beam of phononic crystals

由该周期单元构成的无限长声子晶体梁的纵向振动和横向振动的传播特性均可采用传递矩阵法分析，结合周期结构的Bloch定理，即可得到标准特征值问题如下［1］:

其中:T为纵向振动传递矩阵或横向振动传递矩阵，I为2×2(纵向)或4×4(横向)的单位矩阵。

对于给定频率ω，即可求出相应的波矢q，根据其是否为实数或复数即可得到无限长声子晶体梁振动波的能带结构。

对于有限长的声子晶体梁，为计算其横向和纵向振动带隙，有限元方法是十分方便的。为此，将所建立的如图2所示的5周期梁模型导入到Ansys/workbench中进行谐响应分析，分别在梁的一端加载轴向和横向谐位移激励，在另一端测量相应的位移信号，经计算获得了如图3、4所示的纵向振动传递率曲线和横向振动传递率曲线。

图2 声子晶体梁三维模型Fig.2 3 － Dimensional model of straight beam of phononic crystals

图3 声子晶体梁的纵向振动传递率Fig.3 Longitudinal vibration transmissibility of straight beam of phononic crystals

图4 声子晶体梁的横向振动传递率Fig.4 Transverse vibration transmissibility of straight beam of phononic crystals

很明显，在0～1 000 Hz范围内，梁的纵向振动带隙出现在170～180 Hz这个很窄的频带，且该范围内的衰减极为有限，仅为－1 dB左右。对横向振动而言，该梁的带隙出现在360～900 Hz，频带较宽，衰减很强，一般在－20 dB以上，因而该横向带隙具有较好的工程减振能力。

事实上，采用此类声子晶体梁作为结构件或隔振件时，只能实现二维减振(此处只考虑平动自由度)，即垂直于梁轴线的平面内的两个正交方向的横向振动可以在同一频带(此处即为360～900 Hz)得到有力的抑制，而沿着梁轴线方向的纵向振动却很难在同一频带内也获得有效的衰减，其主要原因一方面在于基体梁的纵向刚度远大于横向刚度，因而纵向带隙衰减量一般远小于横向带隙衰减量，另一方面在于局域振子设计时的纵振固有频率和横振固有频率也往往很难调整到同一区间。工程中的外界激扰往往是多方向的，既有横向激扰分量，也有纵向激扰分量，因此使用梁进行振动抑制往往不能有效地满足实际多维减振需求。

2 角式声子晶体梁的振动传递矩阵分析

图5给出了角式声子晶体梁模型，该模型由两段声子晶体梁组成，上梁与下梁呈固定夹角布置。当下梁内传播的纵波到达两梁交汇点时，将被部分转化为相应频率的横波，并在上梁内继续传播到远端;反之，下梁内的横波前进到交汇点时也将被部分转化为相应频率的纵波，并在上梁内继续传播。显然，从下梁自由端进入的任意方向的外界激扰将不可避免地形成上梁或下梁的横向振动，因此可以预见具有很强振动抑制能力的横向带隙必定能够发挥其作用，从而将减振能力从二维拓展到三维。

对下梁(梁1)，将坐标系原点选在自由端时，面内横向振动和纵向振动的传递关系可以表示为:

其中:T、R分别为对应声子晶体直梁的横振和纵振传递矩阵，n为周期数，、分别为梁1起止周期段上的横振解的振型函数系数列阵(4×1)，、分别为梁1起止周期段上的纵振解的振型函数系数列阵(2×1)。

图5 角式局域共振型声子晶体梁Fig.5 Locally resonant angle type beam of phononic crystals

类似地，将坐标系原点选在交叉点C处时，对上梁(梁2)也存在下述传递关系(此处的上下梁设为相同结构):

在交叉点C处应满足以下协调方程:

(1)位移协调条件:

(2)转角协调条件:

(3)应力协调条件:

其中:a为周期长度，A为梁的横截面积。

(4)弯矩协调条件:

协调方程(4)～(9)可简写为矩阵式KΦn=KΦ1，其中:

限于篇幅，此处不再列出K和H。

由此可得到两梁在交叉点处的传递关系:

其中波型转化矩阵Γ=H－1K。

联立式(2)、(3)、(10)可得:

其中:角梁的总传递矩阵为:

式(12)给出了该角式声子晶体梁两端弹性波(包括纵波和横波)输出与输入之间的传递转换关系。

针对 θ=60°、90°、120°三种不同夹角情况采用matlab软件进行了数值计算。在橡胶环的径向和轴向刚度的确定时，由于文献［1］中所给出的橡胶等效径向刚度计算公式为近似计算，当橡胶环宽度较大时，误差较大，此外该公式也不能用于计算轴向刚度，因而此处采用了Ansys静力学计算方法来确定，其中径向刚度为:k1=2.611 5 ×105N/m，轴向刚度为:k2=5.288 5×105N/m。

图6～图11给出了角梁在竖直和水平方向的传递率分析结果，不难看出θ=60°时角梁只对竖直方向有明显的减振效果，而对水平方向的减振效果很弱;θ=120°时角梁只对水平方向有明显的减振效果，而对竖直方向的减振效果很弱，而θ=90°的角梁对竖直和水平两个方向综合减振效果最好，除去550 Hz和850 Hz的共振峰，在360～530 Hz，570～840 Hz，870～950 Hz不论在竖直和水平方向均具有较强的振动衰减。事实上该结果也是容易理解的，这是因为在非直角情况下，上下梁之间的波型转换是不充分的，因而横向带隙的强衰减作用总是偏向于竖直方向(锐角时)或水平方向(钝角时)，从极限角度(0°和180°)情况也不难体会到这一点。为此，在后面的Ansys分析中将进一步着重考察θ=90°的角梁。

图6 加载竖直位移激励时90°角梁的传递率Fig.6 Transmissibility of right-angle type beam being loaded vertical displacement excitation

图7 加载水平位移激励时90°角梁的传递率Fig.7 Transmissibility of right-angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

图8 加载竖直位移激励时60°角梁的传递率Fig.8 Transmissibility of 60-angle type beam being loaded vertical displacement excitation

图9 加载水平位移激励时60°角梁的传递率Fig.9 Transmissibility of 60 － angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

图10 加载水平竖直位移激励时120°角梁的传递率Fig.10 Transmissibility of 120-angle type beam being loaded vertical displacement excitation

图11 加载水平位移激励时120°角梁的传递率Fig.11 Transmissibility of 120-angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

图12 加载竖直位移激励时角梁的传递率Fig.12 Transmissibility of angle type beam being loaded vertical displacement excitation

3 角式声子晶体梁的有限元振动分析

首先考察竖直方向加载情况，在梁1下端给定竖直方向的谐位移激励，分别测量梁2上端竖直方向和水平方向(纸面内)的位移，传递率计算结果如图12所示。

该传递率曲线与数值计算结果(图6)是基本吻合的，除了由于结构的改变引入了两个额外的共振峰(550 Hz和850 Hz)之外，在对应梁的整个横向带隙内，无论是在竖直方向还是在水平方向，均具有较好的减振效果，其范围是:360～530 Hz，570～840 Hz，870～950 Hz，衰减量在－10～－20 dB之间。此外由于梁1与梁2形成了“弹簧－质量”减振系统，因此在带隙范围之外的低频区间几个窄频带内如210～260 Hz竖直方向也能获得一定程度上的减振能力，但可能导致水平方向振动较为突出。图13和图14分别给出了横向带隙起止频率处的角梁振动情况。在带隙起始频率处，基体梁基本不动，各局域振子振动方向反相;而在带隙截止频率处，各局域振子基本不动，基体整体作横向振动。

图13 竖直方向加载时360 Hz处的角梁振动情况处Fig.13 Vibration of angle type beam at 360 Hz being loaded vertically

其次在梁1下端沿着水平方向(纸面内)加载，分别测量梁2上端竖直方向和水平方向的位移，计算所得的传递率如图15所示。

图14 竖直方向加载时960 Hz的角梁振动情况Fig.14 Vibration of angle type beam at 960 Hz being loaded vertically

图15 加载水平位移激励时角梁的传递率Fig.15 Transmissibility of angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

图16 水平方向加载时360 Hz处的角梁振动情况Fig.16 Vibration of angle type beam at 360Hz being loaded horizontally

图15表明，在对应梁横向带隙范围内，除了550 Hz和850 Hz两处结构共振峰影响到了衰减外，无论是水平方向还是竖直方向，总体上也获得了较好的减振性能。类似地，通带范围内的低频区(40～140 Hz;220～260 Hz)的减振性能也来自于两梁构成的“弹簧－振子”振系，其中40～140Hz范围内的减振效果在两个方向上均能得到保证，并且衰减较大。该结果与数值分析结果(图7)也是一致的。图16和图17给出了起止频率处的振动情况，局域振子和基体的行为与竖直加载时的情况也是类似的，这也进一步表明了角梁受到竖直和水平方向(面内)上的激扰时确实能够通过波型的转化从而使得两梁的横向带隙得到较为充分的利用。

图17 水平方向加载时960 Hz处的角梁振动情况Fig.17 Vibration of angle type beam at 960 Hz being loaded horizontally

4 结论

针对局域共振型声子晶体梁和一类角式声子晶体梁的振动进行了传递矩阵法的数值计算，并采用有限元方法计算了3个平动方向的振动传递率，对比分析结果表明:

(1)所设计的局域共振型声子晶体梁在0～1 000 Hz内具有较宽较强的横向振动带隙和较窄较弱的纵向振动带隙，分别位于170～180 Hz和360～900 Hz。声子晶体梁可以很好地抑制梁轴线法平面内的2维横向振动，但同一频带内轴线方向的纵向振动却很难获得有效的衰减，因而只具有二维减振能力;

(2)针对所设计的角式声子晶体梁，90°夹角型式综合减振效果强于60°和120°型式，在竖直方向和水平方向加载时，在除去两处结构共振峰(550 Hz和850 Hz)之外的横向振动带隙范围内(即360～530 Hz，570～840 Hz，870～950 Hz)均具有较强的振动衰减;在法线方向加载时，由于局域振子周期数的增加，在全带隙内均具有十分显著的衰减;

(3)角式声子晶体梁能够通过波型转化作用将纵向振动转化为同频率的横向振动，从而有效地利用了横向带隙的强衰减作用和宽频带特性，实现了三维减振。

［1］温熙森，温激鸿，郁殿龙，等.声子晶体［M］.北京:国防工业出版社，2009.

［2］Parobas I E，Sigalas M M.Elastic band gaps in a fcc lattice of mercury spheres in aluminum［J］.Phys.Rev.B，2002，66(5):052302.

［3］Liu Z，Chan C T，Sheng P.Analytic model of phononic crystals with local resonances［J］.Phy.Rev.B，2005，71(1):014103.

［4］Goffaux C，Sanchez-Dehesa J.Two-dimensional phononic crystals studied using a variational method:Application to lattices of locally resonant materials［J］.Phys.Rev.B，2003，67(14):144301.

［5］王 刚.声子晶体局域共振带隙机理及减振特性研究［D］.长沙:国防科技大学，2006.

［6］Wang G，Wen X S，Wen J H，et al.Quasi one-dimensional periodic structure with locally resonant band gap［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，2006，73(1):167 －169.

［7］宋卓斐，王自东，王艳林，等.一维杆状声子晶体的带隙特性［J］.振动与冲击，2010，29(2):145 －148.SONG Zhuo-fei，WANG Zi-dong，WANG Yan-lin，et al.The characteristic of stop-band of a kind phononic crystal rod［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(2):145－148.

［8］王 刚，温激鸿，温熙森，等.细直梁弯曲振动中的局域共振带隙［J］.机械工程学报，2005，41(10):107 －110.WANG Gang，WEN Ji-hong，WEN Xi-sen，et al.Locally resonant elastic wave band gaps in flexural vibrations of slender beams［J］.Journal of Mechanical Engineering，2005，41(10):107 －110.

［9］刘耀宗，孟 浩，李 黎，等。基于遗传算法的声子晶体梁振动传输特性优化设计［J］.振动与冲击，2008，27(9):47－50.LIU Yao-zong，MENG Hao，LI Li，et al.Optimal design of vibrational transimission of sonic crystal beam based on genetical algorithm［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(9):47 －50.

［10］Asiri S，Baz A，Pines D.Active periodic struts for a gearbox support system ［J］. SmartMaterialsAnd Structures，2006(15):1707－1714.