基于长周期地震动记录的SDOF 体系能量谱探讨

陈清军，袁伟泽

(同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

随着现代文明的进步和社会经济的飞速发展，建筑物日益向超高层、超大型方向发展，地震动长周期成分对其影响变得不容忽视。如何客观合理地估计这种影响，现行的设计反应谱和振型分解反应谱方法显得力不从心。为解决这一难题，许多学者认为可采用更加合理的物理量来描述地震动，并把它应用到工程抗震计算中去，其中地震动能量是可选物理量之一［1］。但是如何将能量方法与结构地震反应，是迄今未能很好解决的问题。

基于能量的抗震设计方法，由于考虑了地震动持时对结构累积损伤的影响，能够更全面地反映地震作用的特性及其对结构的影响，受到了国内外学者的重视。Akiyama［2］对4种场地的地震动进行分析，提出了两段式的输入能量谱;Benavent-Climent等［3］采用哥伦比亚地震记录建立了适用于中、高地震活跃区的设计输入能量谱;Amiri等［4］利用伊朗强震记录建立了弹性输入能量谱。在国内，滕军等［5］分析了160条强震记录，建议了简化三段式能量谱曲线;程光煜等［6］以4种场地条件下40条强震记录作为输入，分析了弹塑性SDOF系统的地震输入能量谱，并对地震动强度和SDOF系统参数对地震输入能量谱的影响进行了研究。由于受强震观测仪器等因素影响，具有可靠长周期信息的地震动记录比较缺乏［7］，至今国内外有关地震动能量谱的研究大多是基于普通周期地震动记录，而关于长周期地震动能量谱的研究成果仍较少。

为分析长周期地震动作用下结构的能量反应谱及其影响因素，本文将从1985年墨西哥8.1级地震、1999年台湾集集7.6级地震和2003年日本十胜冲8.0级地震记录库中，挑选出具有可靠长周期信息和基本场地资料的强震记录作为输入，分析长周期地震动弹性输入能量谱的特点，探讨长周期地震动弹塑性输入能量谱的影响因素及其确定方法、以及长周期地震动作用下结构的累积滞回耗能与弹塑性输入能量之间的比值关系。

1 能量法基本理论概述

基底受水平地震动作用的单自由度(SDOF)阻尼体系的运动方程可写成为:

对于弹性SDOF系统，式(2)中累积滞回耗能Eh为零，地震结束时，结构的动能Ek和弹性变形能Es几乎为零，因此，结构的耗能能力主要取决于阻尼耗能Eξ;对于弹塑性SDOF系统，结构的耗能能力主要取决于累积滞回耗能Eh和阻尼耗能Eξ。若由Ek和Es构成弹塑性体系中的弹性振动能Ee，则式(2)可表示为:

地震作用结束时，式(3)中的弹性振动能Ee几乎为零，则累积滞回耗能Eh=EI-Eξ。已有的研究表明［2-3，6］，延性系数μ和阻尼比ξ是地震动输入能量和结构累积滞回耗能的主要影响因素。取一系列自振周期为Ti(i=1，2，…，N)的SDOF体系，则在地震动g作用下，结构最大输入能量响应和滞回耗能响应可分别表示为因此，设定结构的阻尼比和延性系数后，采用逐步积分法(本文计算时采用Newmark-β法)，通过迭代计算确定结构的屈服位移，就可获得在指定阻尼比情形下，与目标延性系数一致的地震动输入能量谱和累积滞回耗能谱。

若式(1)中各项对绝对位移(u+ug)在地震动持时内积分，可以得到绝对能量平衡方程。绝对输入能量与相对输入能量的不同，主要是由于结构体系的刚体转换作用造成的，虽然绝对输入能量的物理意义较明确，但它包含了作等速运动时与变形无关的能量，对抗震设计意义不明显［8］。另外，相对能量平衡方程和绝对能量平衡方程关于累积滞回耗能的定义也完全相同，因此，与大部分学者［2，6］选择能量平衡方程类似，本文将采用相对能量平衡方程对长周期地震动作用下的输入能量谱和累积滞回耗能谱进行研究。

2 长周期地震动记录的选取

本文从1985年墨西哥8.1级地震、1999年台湾集集7.6级地震和2003年日本十胜冲8.0级地震记录库中，挑选出具有可靠长周期信息和具有基本场地资料的36条地震加速度水平分量记录。所有加速度记录峰值均大于30 gal，对于存在基线漂移的地震记录采用文献［9］的方法进行处理。由于收集到的记录均为境外强震记录，台站场地资料不够完善，而且国内和境外的场地土分类标准也不一样，不能完全按照我国规范中的场地分类标准来划分场地类别，因此参考文献［10］的方法将场地划分为基岩场地、一般场地和软土场地三类。按照场地条件的不同，表1给出了所选长周期地震动记录的主要参数，包括峰值加速度(PGA)、峰值速度(PGV)、峰值位移(PGD)、强震持时(tD)、累积绝对速度

3 能量谱归一化方法的确定

为了获得设计用的能量谱，需要将不同幅值地震动的能量谱进行归一化处理。目前常用的方法主要有:①在能量反应分析之前，通过调整输入地震动的参数(如PGA、PGV等)进行归一化。该方法虽然比较简单，但不能考虑震级、震中距等因素的影响;②利用考虑震级、震中距等因素的能量反应谱参数对反应谱进行归一化，如能量反应谱的峰值EImax、能量反应谱的面积 AEⅠ。

Decanini等［12］的研究表明，能量谱峰值参数EImax通常对应的频带较窄，当周期范围较大时，该参数不具代表性，且在能量谱的统计分析过程中会导致较大的误差;而由能量反应谱面积AEⅠ归一化的能量谱曲线更加平滑，且计算周期范围较大，统计结果较稳定。因此，本文将采用能量反应谱面积AEⅠ对能量反应谱进行归一化处理。

表1 选取的长周期地震动记录及其地震动参数Tab.1 Chosen long-period ground records and some of their characteristics

4 基于长周期地震动记录的能量谱

目前已有的设计能量谱多为两段式和三段式模型。两段式模型上升段的斜率相同，根据场地条件的不同能量谱的最大值和界限周期有所不同，在界限周期以后能量谱值保持不变［2］，然而地震动能量谱在界限周期以后大小是有变化的，峰值和低谷的值随着地震动的不同而不同，在长周期范围能量谱将减小［13］。相比之下，三段式模型更能概括能量谱的统计特征［5］，且可根据场地条件的不同采用不同的能量谱峰值和界限周期，因此，这里将采用三段式能量谱模型进行长周期地震动的能量谱分析。

4.1 弹性能量谱

取阻尼比ξ=0.02，分别以基岩场地、一般场地和软土场地情形下的长周期地震动作为输入，对弹性SDOF体系进行输入能量谱计算，并采用能量谱参数AEⅠ，ξ=0.02进行归一化处理，得到上述三类场地条件下的标准能量谱曲线和代表值曲线(均值加一倍方差)如图1所示。

分析图1基岩场地、一般场地和软土场地中的能量谱代表值曲线可知，能量谱曲线可分为上升段、平台段和下降段3段。在短周期范围内，能量谱值随周期增加而加大;在中等周期范围内，能量谱值在一定量值附近震荡，上下变化不大，此段的长度随土质变软，呈变长趋势;在长周期范围内，能量谱值随周期增长而下降。参照文献［5］和［6］的方法，引入如下形式拟合函数:

式中:NEImax为阻尼比ξ=0.02时的能量谱平台段谱值，T1和Tg分别为能量谱平台段的起始和结束周期，r为能量谱下降段的衰减指数。

分别对三类场地的能量谱代表值曲线应用最小二乘法进行拟合，即令:

图1 三类不同场地的地震动输入能量谱Fig.1 Input energy spectrum of different soil types

表2 拟合弹性能量谱参数Tab.2 Factors for fitted input energy spectrum

当阻尼比ξ≠0.02时，需要对能量谱进行修正，参考现行抗震设计规范中不同阻尼比的设计反应谱形式，通过对不同阻尼比情形下三种场地的长周期地震动能量谱的统计分析，得到弹性能量谱平台段的幅值调整系数η2和曲线下降段衰减指数r'的计算式为:

其中参数 a1，b1，c1，d1的取值见表 3。

表3 能量谱调整参数Tab.3 Adjustment factors of input energy spectrum

4.2 弹塑性能量谱及其影响因素

鉴于双线性恢复力模型具有形式简单、计算方便同时又能反映结构弹塑性滞回本质的特点，这里将采用理想双线性模型进行弹塑性计算，首先讨论延性系数和阻尼比对能量谱值、以及能量谱峰值的影响;然后，参考文献［6］的方法，调整长周期地震动弹性能量谱参数来确定长周期地震动的弹塑性能量谱，并通过与长周期地震动弹塑性能量谱拟合结果的比较，来验证这一方法的可行性。

4.2.1 延性系数和阻尼比对能量谱值的影响

首先以阻尼比ξ=0.02为例，讨论阻尼比一定时延性系数对弹塑性能量谱与弹性能量谱比值EI，ξ=0.02，μ/EI，ξ=0.02，μ=1的影响。图 2 给出了取不同延性系数时弹塑性能量谱与弹性能量谱的比值 EI，ξ=0.02，μ/EI，ξ=0.02，μ=1随 SDOF 体系初始周期的变化曲线。由此可见，在短周期范围内，弹塑性能量谱的谱值明显大于弹性能量谱，且随着延性系数的增大，弹塑性能量谱的谱值变大趋势越明显;在中、长周期范围内，延性系数对弹塑性能量谱谱值的影响减弱，能量谱比值趋于平缓，同时随着结构非线性的增强，弹塑性能量谱与弹性能量谱的比值有减小趋势。

图2 延性系数对弹塑性能量谱的影响Fig.2 Influence of ductility factor on elastic-plastic energy spectrum

经过对计算结果的统计分析与拟合，可得到不同延性系数μ时，弹塑性能量谱与弹性能量谱比值R1的拟合公式:

式中:T为SDOF体系的自振周期;参数a2，b2，c2由下面的公式确定:

进一步讨论延性系数一定时，阻尼比对地震动能量谱的影响。以延性系数μ=4的弹塑性SDOF体系为例，图 3 给出了不同阻尼比 ξ的能量谱值 EI，ξ，μ=4与阻尼比 ξ=0.02 时的能量谱值 EI，ξ=0.02，μ=4随 SDOF 体系初始周期的变化曲线。由图3可知:①当周期值小于1.2 s时，弹塑性能量谱的谱值随周期的增大而减小，且阻尼比ξ越大，弹塑性能量谱减小的趋势越明显;②当周期值大于1.2 s时，弹塑性能量谱的谱值随周期的增大而增大，且阻尼比ξ越大，弹塑性能量谱增大的趋势越明显。

经过对计算结果的统计分析与拟合，可得到不同阻尼比ξ时弹塑性能量谱与弹性能量谱比值R2的拟合公式:

图3 阻尼比对弹塑性能量谱的影响Fig.3 Influence of damping ratio on elastic-plastic energy spectrum

式中:T为SDOF体系的自振周期;参数a3，b3，c3由下面的公式确定:

综合上述分析结果，可得到不同延性系数和阻尼比的弹塑性体系能量谱值 EI，ξ，μ，与阻尼比为 0.02 的弹性体 系 能 量 谱 值 EI，ξ=0.02，μ=1之 间 的 比 值 ET，ξ，μ关 系式，即:

4.2.2 延性系数和阻尼比对能量谱峰值的影响

为分析延性系数μ和阻尼比ξ对长周期地震动能量谱峰值的影响，这里将不同延性系数和阻尼比的弹塑性能量谱的峰值 EImax，ξ，μ与阻尼比为 0.02 的弹性能量谱的峰值 EImax，ξ=0.02，μ=1进行比较分析。以表 1 选取的36条长周期地震动作为输入，求得弹塑性能量谱峰值与弹性能量谱峰值的比值 EImax，ξ，μ/EImax，ξ=0.02，μ=1的均值加一倍方差结果如图4所示。

由图4可知，在相同阻尼比的情形下，弹塑性能量谱峰值与弹性能量谱峰值的比值 EImax，ξ，μ/EImax，ξ=0.02，μ=1随延性系数μ的增大而呈减小趋势;当阻尼比ξ增大时，延性系数对能量谱峰值的影响呈减弱趋势。

通过对计算结果的统计分析与拟合，可得到不同阻尼比和延性系数的弹塑性能量谱峰值与阻尼比ξ=0.02的弹性能量谱峰值之间比值β的关系式为:

4.2.3 弹塑性能量谱

［6］的方法，利用4.1节建立的长周期地震动弹性能量谱，通过调整公式(4)中的参数来确定长周期地震动弹塑性能量谱。具体如下:①弹塑性能量谱平台段的谱值 NEImax，ξ，μ= β × NEImax，其中系数 β 可由公式(10)计算得到;②对周期T≥Tg之后的长周期段能量谱值乘以调整系数 γ，其中 γ =KT，ξ，μ/KTg，ξ，μ可通过公式(9)求得。利用上述方法求得的基于长周期地震动弹性能量谱的弹塑性能量谱曲线见图5。

为验证上述方法的可行性，以表1中三种场地条件下的长周期地震动作为输入，对SDOF体系进行弹塑性时程响应计算，求取不同延性系数和阻尼比情形下由能量谱面积AEI归一化的标准弹塑性能量谱曲线，并与基于长周期地震动弹性能量谱的弹塑性能量谱曲线进行对比。图5给出了基岩场地(ξ=0.02，μ=1)、一般场地(ξ=0.05，μ =4)和软土场地(ξ=0.10，μ =6)三种情况下，标准弹塑性能量谱曲线及其代表值曲线(均值加一倍方差)、以及拟合值曲线(通过公式(5)获得)，与基于长周期地震动弹性能量谱的弹塑性能量谱曲线的比较。由此可见，基于长周期地震动弹性能量谱的弹塑性能量谱曲线与基于实测长周期地震动的弹塑性能量谱的拟合值曲线基本吻合，两者平台段的谱值相差约5%。

图4 能量谱峰值拟合曲面Fig.4 Fitting surface for the peak value of energy spectrum

图5 不同延性系数和阻尼比情况下弹塑性能量谱对比Fig.5 Comparison of elastic-plastic energy spectrum based on different ductility factors and damping ratios

4.3 累积滞回耗能谱

地震作用下结构的累积损伤主要取决于累积滞回耗能，累积滞回耗能是对结构进行非线性设计、或对结构进行地震危险性评估的一个主要参数。在确定地震动弹塑性输入能量谱的基础上，通过分析累积滞回耗能Eh与地震输入能量EI的比值谱Eh/EI(以下简称滞回耗能比值谱)来分析累积滞回耗能Eh随结构周期的变化情况。

将SDOF体系在不同阻尼比(以 ξ=0.02和 ξ=0.20为例)和延性系数下的滞回耗能比值谱随周期的变化情况进行比较，如图6所示。

图6 阻尼比和延性系数对滞回耗能比值的影响Fig.6 Influence of damping ratios and ductility factors on hysteretic energy radio

由图6可知:①滞回耗能的比值随结构自振周期的增大，逐渐减小，并且延性系数越大，减小的趋势越明显;②当延性系数一定时，阻尼比越大，结构的滞回耗能比值越小;③当阻尼比一定时，延性系数越大，滞回耗能的比值越高。

若以结构自振周期为一定值(这里取周期为4 s)，延性系数对滞回耗能比值Eh/EI的影响曲线如图7所示。由此可见，当延性系数μ小于4时，延性系数对滞回耗能比值的影响明显;当延性系数μ大于4时，延性系数对滞回耗能比值的影响减弱。

图7 延性系数对滞回耗能比值的影响Fig.7 Influence of ductility factor on hysteretic energy radio

目前关于滞回耗能比值谱的计算模型主要有:考虑阻尼影响的Akiyama模型［2］、考虑延性系数的Fajfar模型［14］、考虑阻尼比和延性系数的Benavent-Climent模型［3］和 Decanini模型［12］。这些模型大都没有考虑周期因素对滞回耗能比值谱的影响，综合统计分析结果，并参考文献［15］的形式，可得到长周期地震动滞回耗能比值谱的关系式为:

式中:d1=5.34ξ2-3.05ξ+0.65，

d2=d1+(d3-d1)(μ -2)/2，

d3=5.57ξ2-3.62ξ+0.95。

将已有模型与公式(11)的计算结果进行比较，若采用一般场地、阻尼比 ξ=0.05、延性系数 μ=4的SDOF体系，各模型计算结果与长周期地震动弹塑性时程计算结果的对比如图8所示。由图8可知，除Decanini模型外，其他模型均未考虑周期的影响，因此在整个周期范围内为一条直线。其中Akiyama模型在短周期范围内与时程计算结果较接近，但在长周期段的比值偏高;Fajfar模型在整个周期范围内的比值均偏高;Decanini模型虽然考虑了周期的影响，但结构周期只计算到4 s，同时该模型的计算结果偏低;Benavent-Climent模型计算的比值大于1，不能满足边界条件，表明该模型已超出了适应范围;公式(11)同时考虑了周期、阻尼比和延性系数的影响，其分析结果与长周期地震动弹塑性时程计算结果(均值加一倍方差)接近。

图8 计算结果比较Fig.8 Comparison of the calculation results

5 结论

本文选取36条具有可靠长周期信息的强震记录作为输入，采用能量谱面积进行归一化，分析了长周期地震动作用下结构的能量反应谱及其影响因素。结果表明:

(1)长周期地震动的弹性能量谱曲线可以分为三段，即上升段、平台段和下降段，且场地土的土质越软，平台段越长;本文建立的弹性能量谱模型能够较好地拟合周期在10 s以内、阻尼比在0.02～0.30内的长周期能量谱的统计特征。

(2)与弹性能量谱相比，弹塑性能量谱在短周期范围，随延性系数的增大能量谱值增大显著，在中、长周期范围，随着延性系数增大，能量谱值略有减小;而阻尼比对能量谱的影响与延性系数相反。本文通过调整长周期地震动弹性能量谱参数确定的长周期地震动弹塑性能量谱，与长周期地震动弹塑性能量谱的拟合结果基本吻合，两者平台段的谱值相差5%左右。

(3)本文建立的长周期地震动累积滞回耗能比值谱计算公式，考虑了结构的延性系数、阻尼比和自振周期的影响，所得结果与弹塑性时程计算结果(均值加一倍方差)接近。

需要指出的是，由于此次选取的长周期地震动记录相对有限，针对长周期地震动能量谱模型的相关参数有待更多实测长周期地震动记录加以验证。

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