非线性弹性地基上悬臂输流管的受迫振动

张紫龙，唐 敏，倪 樵

(华中科技大学 力学系，武汉 430074;工程结构与安全湖北省重点实验室，武汉 430074)

输流管是一种广泛应用于油气运输、采矿工程、热交换器等工程领域中的重要工程结构。众所周知，当管内流速大于某一临界值时，输流管将会发生失稳，失稳形式与端部支承方式有关(对于两端支承输流管，将发生屈曲失稳;而对于悬臂输流管，将发生颤振失稳)。一旦输流管道发生失稳，可能会对整个结构造成破坏。因此，近几十年来输流管的动力学行为已经成为结构动力学研究的重要内容之一，许多研究者［1-11］对这一问题进行了研究。已有研究表明［12-14］，地基的力学特性对输流管系统的动力学行为有很大的影响。常用的弹性地基近似模型主要有两种［15］:① Winkler模型，该模型不考虑土体的连续性，将地基等效为一系列相互独立的线性弹簧系统，地基上任一点受力只有该点处的弹簧产生形变，其他弹簧不受影响;② Pasternak双参数模型，该模型在Winkler模型基础上考虑了土体的剪切效应和连续性，相对于Winkler模型，该模型更接近实际情况。基于以上两种地基模型，许多研究者对弹性地基上输流管道的动力学行为进行了研究。王忠民等［16］研究了以上两种地基模型上的输流管道的振动稳定性，并分别讨论了两种地基模型中各参数对系统稳定性的影响。Doared等［17］基于Winkler地基模型研究了弹性地基上悬臂、两端简支等支承作用下输流管道的局部和全局稳定性。Qian等［18］基于Winkler模型，使用三次非线性弹簧来描述地基的非线性特性，建立了非线性双参数Winkler模型，在此基础上研究了非线性弹性地基上悬臂输流管的非线性动力学行为，并讨论了各参数对系统Hopf分岔点流速的影响，结果显示地基的非线性刚度对于系统的非线性动力学行为有重要的影响，在研究输流管-地基系统的非线性动力学行为时不应忽略。梁峰等［19］研究了Pasternak双参数弹性地基上两端固支输流管道的静态和动态稳定性问题，并应用平均法考察了脉动内流作用时管道的前两阶主参数共振和组合共振，结果表明，地基的剪切刚度对输流管-地基系统的静态和动态稳定性均有显著影响。

为了更真实地反映弹性地基上输流管的动力学特性，本文基于Pasternak双参数地基模型，综合考虑地基的剪切效应、非线性特性和粘滞阻尼的影响，建立了基础激励作用下非线性弹性地基上输流管的运动方程。使用Galerkin法，研究了基础激励作用下非线性地基上悬臂输流管的非线性动力学行为，着重讨论地基剪切刚度和基础激励频率对系统动力学特性的影响。

1 运动方程

考虑图1所示非线性弹性地基上的悬臂输流管道，U为管内流体流速，w(x，t)是管道中心线的横向位移，x为沿管道长度方向的位置坐标;kG，C，k1，k2分别表示地基的剪切刚度，粘滞阻尼，等效线性刚度，等效非线性刚度;Y0sin(Ωt)是基础位移激励。

图1 非线性弹性地基上悬臂输流管道示意图Fig.1 Schematic of a cantilevered fluid-conveying pipe rested on nonlinear Pasternak foundation

基础激励作用下非线性弹性地基上的悬臂输流管道运动方程可写作［18-19］:

其中:EI为管道的弯曲刚度，E*为粘弹性系数，M和m分别表示单位长度流体和管道的质量，F表示单位长度地基对管道的支承力。

对于图1所示非线性弹性地基，其对管道的单位长度支承力可表示为:

引入如下无量纲参数，l为管道的长度，

可以将式(1)写成如下的无量纲形式:

方程(4)可利用Galerkin法进行离散。方程(4)中管道的位移函数可表示为:

其中:φr，r=1，2是悬臂梁的模态函数，qr为广义坐标。将上式代入方程(4)，并在方程两边同时左乘Φ，然后对ξ从0～1积分，利用模态函数的正交性，可得:

其中，I为单位矩阵。

为了方便后续的数值计算，引入状态向量z={q1，q2，1，2}，将式(6)写成如下形式的一阶状态方程:

其中:

式(8)构成了输流管系统的非线性响应控制方程，求解此方程可得到输流管在取定参数下的动力响应。

2 数值仿真

为了分析输流管系统的动力响应，重点考察管道自由端的响应。采用四阶Runge-Kutta法对方程(8)进行求解，时间步长取0.001，初始条件为 qi=0.001，i=0，i=1，2。在以下分析中，选取较高内流速度，u=11。由文献［18］可知，在不考虑外部激励作用时，该流速下输流管系统处于偏离零平衡位置的一个稳定焦点。其余系统参数选取如下［18］:

首先，考察地基剪切刚度κG=0时，系统在基础激励作用下的动力响应。图2给出了以基础激励频率ω为控制参数时的分岔图，图中纵坐标是输流管自由端(ξ=1)处的位移。当管道端部位置的振动速度为零时(η(1，τ)=0)，记录此时管道端部位置的瞬时位移(η(1，τ)=φ1(1)q1(τ)+ φ2(1)q2(τ))，并将其以点的形式绘制到分岔图中。在分岔图的绘制中，并未考虑初始时刻的振动过程，仅考虑振动相对稳定时的响应。从该图可以看出，随着基础激励频率的变化，地基-输流管系统呈现出非常丰富的动力学行为，包括周期、概周期和混沌运动。当激励频率较小时，管道发生周期-1运动。当37.5＜ω＜39.5时，系统处于混沌运态。而当39.5＜ω＜50.65时，系统发生周期-3振动。随着激励频率的增大，系统将在50.65＜ω＜51.5发生倍周期分岔并通向混沌，进一步研究表明，此区域内系统的振动形态依次为:周期 -3，周期 -6，周期 -12，……，周期-3·2n-1，混沌。从图中还可以看到，随着激励频率的变化系统在某些频率范围内会发生多次振动形态的跳跃并最终过渡到混沌运动，比如在76.9＜ω＜78，系统的运动形态从周期-4跳跃到周期-13，然后跳跃到周期-4，又从周期-4跳跃到周期-11，…，并由此过渡到下一个混沌运动窗口。继续增大激励频率，系统将会从混沌运动经由概周期运动过渡到下一个周期运动窗口。值得注意的是，上述混沌运动窗口中均包含了多个周期和概周期窗口。图3给出了典型运动形态的相轨迹图，从中可以清楚地看到系统运动形态的变化情况，如图3(d)～(f)是系统发生倍周期分岔的过程。

图2 以基础激励频率ω为控制参数的分岔图，κG=0Fig.2 Bifurcation diagram for the tip point displacement，as a function of forcing frequency ω，for κG=0

图3 不同基础激励频率下输流管自由端运动形态的相轨迹图Fig.3 Phase portraits of the motions of the tip point，for the system defined in Fig.2

接下来将研究地基剪切刚度对系统动力学行为的影响，即κG≠0时。图4～5给出了不同地基剪切刚度下系统的分岔图。由图2、图4和图5可以看出，地基剪切刚度对系统的动力学行为有很明显的影响，随着地基剪切刚度的增大，系统的混沌运动和概周期运动窗口逐渐减小并消失。值得注意的是，当地基剪切刚度足够大时(对于本文所取参数，κG=40)，系统在所取激励频率范围内将始终处于周期运动状态。由此可见，地基剪切刚度对于基础激励作用下输流管-地基系统的混沌运动和概周期运动有很好的抑制作用。这对于输流管的振动控制设计与实际应用具有重要意义。因为对于实际系统而言，混沌运动通常是有害的，在进行输流管设计和铺设的时候，可以通过增加地基的剪切刚度来避免管道发生混沌运动，从而提高输流管系统的安全性。

图4 考虑地基剪切刚度时系统的分岔图，κG=20Fig.4 Bifurcation diagram for the tip point displacement，as a function of forcing frequency ω，κG=20

图5 考虑地基剪切刚度时系统的分岔图，κG=40Fig.5 Bifurcation diagram for the tip point displacement，as a function of forcing frequency ω，κG=40

3 结论

本文基于Pasternak地基模型，综合考虑地基的剪切效应、非线性特性和粘滞阻尼的影响，研究了基础激励作用下非线性弹性地基上输流管的非线性动力响应，着重讨论了基础激励和地基剪切刚度对系统动力学特性的影响。数值计算表明，系统在基础激励作用下具有非常复杂的动态响应，包括多种形式的周期、概周期和混沌运动。当基础激励频率连续变化时，系统的运动形态还会发生跳跃。系统主要经由以下两种路径通向混沌:倍周期分岔;运动形态的跳跃。其中后一种路径与倍周期分岔类似，但其运动形态的周期数并不是成倍数变化关系。结果还显示，地基的剪切刚度对系统的概周期运动和混沌运动有抑制作用，随着地基剪切刚度的增大，在激励频率参数区域内系统的概周期和混沌运动窗口逐渐减小;当地基剪切刚度足够大时，系统将始终处于周期运动状态。

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