“二面角”向量法求解攻略

☉广东省东莞市塘厦中学 廖廷维

立体几何是历年各省市高考必考点之一，命题视角以二面角为主.空间向量的引入为二面角的求解开辟了捷径，下面就应用向量求二面角问题举列说明.

题目：如图1，在四棱锥PABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

图1

（1）证明：BC⊥平面PBD；

（2）求二面角D－PC－B的余弦值.

（3）在PC上是否存在点Q使得二面角Q－BD－P为45°，若存在请确定点Q的位置，若不存在请说明理由.

攻略1 利用现有垂直关系建立空间坐标系

空间直角坐标系的建立原则：充分利用已知和隐含的垂直关系，除本题中的墙角关系外，常涉及到的垂直关系还有：菱形的对角线互相垂直；等腰三角形的三线合一；勾股定理的逆定理等.

（1）证明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PBD.

图2

另外，BC与BD的垂直关系也可由勾股定理的逆定理，即BC2+BD2=CD2得到.

攻略2 法向量的求解：先找再求

二面角的求解可直接转化为两个平面法向量的夹角问题，这就需要求出两个平面的法向量，命题人常隐含给出一个平面的垂直线段，进而可视为法向量.另一个平面的法向量则需要我们根据法向量的定义求解.即找一个法向量，求一个法向量.如本题（2）中平面PCD的法向量可直接利用.

（2）解：由已知，DA⊥平面PCD，所以（1，0，0）为平面PCD的一个法向量.

攻略3 二面角余弦值的正负判断，可结合法向量的方向性

设n1、n2为二面角α-l-β的面α、β的法向量，则二面角α-l-β的大小等于法向量n1、n2的夹角〈n1，n2〉或夹角的补角.本题（2）中较易判断出所求二面角为锐角，但很多问题中并不容易判断.那么，什么时候相等，什么时候互补呢？直接观察是锐角还是钝角，这种方向缺乏严密性，且容易出错，而向量具有在不改变方向下的自由移动的性质，就能轻松地解决这一问题.

如图3：若PA⊥α于A，PB⊥β于B，平面PAB交l于E，则∠AEB为二面角α-l-β的平面角，∠AEB+∠APB=π.设n1、n2是二面角的法向量.

图3

图4

（1）当法向量n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量n1、n2的夹角〈n1，n2〉.

（2）当法向量n1与n2的方向同时指向二面角内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量n1、n2的夹角〈n1，n2〉的补角.

判断方法：将平面β的法向量n2在不改变方向的基础上移到起点为原点处，如图4，可判断n2指向二面角内侧，而n2′则指向二面角的外侧，用同样的方向可以确定另一个平面的法向量的指向，从而确定法向量的夹角是不是二面角.

攻略4 线段上点的存在性问题，引入向量平行关系的设问方法

线段PC上是否存在点P满足条件……此类问题可假设满足条件的点存在，为减少变量的引入，可将条件设为PQ=λPC，运用已知条件求λ，如果0≤λ≤1，则点Q存在，如果λ＞1，则点Q不存在.

图5

注意到λ∈（0，1），得λ=-1.

向量是一种解题工具，它给予我们新的思维视角、新的思想方法，更重要的是它能够大大简化思维过程、降低运算量，这不正是在新课程改革下学生最需要的“解题武器”吗？其实，能妙用向量法解的题型远不止笔者所举的这些例子，比如三角函数、正余弦定理公式、线段定比分点公式等都可以借助向量为工具进行推导和证明.因此，教师在平时教学中若能经常灌输妙用向量法解题，相信会有更多的学生喜欢数学.