关于整数矩阵及其整变换的研究

初丽

（大连理工大学 城市学院 基础教学部，辽宁 大连116600）

关于整数矩阵及其整变换的研究

初丽

（大连理工大学 城市学院 基础教学部，辽宁 大连116600）

通过定义整初等变换，给出了整数矩阵可逆的充要条件以及利用整初等求解整数矩阵的结论，并最终利用整初等变换将整数矩阵化为等价的对角标准型.

整数矩阵；整初等变换；逆矩阵

实际生活中很多问题最终都转化为方程组的研究，例如石油探测：当勘探船寻找海底石油储藏时，它的计算机每天要解几千个线性方程组的地震数据从气喷枪的爆炸引起水下冲击波获得，这些冲击波引起海底岩石的震动，并用几英里长的电缆拖在船后的地震测波器采集数据.而矩阵在解决方程组问题时，起着很重要的作用，对矩阵的研究变得尤为重要，这里研究整数矩阵的一些性质.

1 预备知识

定义 矩阵的整初等行(列)变换是对一个矩阵施行下列变换，其中k为整数

(1)交换矩阵的两行(列)，如第i，第j行(列)的位置.记为Rij(Cij).

(2)用一个不等于零的数k乘矩阵的某一行(列)，如第i行(列)，即用k乘矩阵第i行(列)的每一个元素.记为k Ri(k Ci).

(3)用某一个数k乘矩阵的某一行(列)，如第j行(列)后加到另一行(列)，如第i行(列)上，即用k乘矩阵的第j行(列)的每一个元素加到第i行(列)的对应元素上.记为Ri+k Rj(Ci+k Cj).

定义 整初等行(列)变换矩阵

(1)整换法矩阵：单位矩阵En交换第i行和第j行.记为E(i,j).

(2)整倍法矩阵：单位矩阵En第i行乘以一个非零整数k.记E(i(k)),k≠0；

(3)整消法矩阵：单位矩阵En第j行乘以一个整数，加到第i行上去.记为E(i+j(k),j).

2 整数矩阵及其逆矩阵

2.1 定理

设n阶矩阵A是数矩整阵(即元素全为整数)，若A可逆，且逆矩阵也是整数矩阵的充要条件是|A|=±1.

2.2 定理

若整数矩阵A可经整初等行(列)变换求其逆矩阵，则整倍法变换中k=±1.

证明：若第一列中有元素有1，则将其所在行于第一行变换，并且下面的元素消为零；若第一列中有元素没有1，则看是否存在第一列元素的整线性组合为1，依次下去得到A-1.

特别对于n阶整数正交矩阵A，由于|A|=±1，故A-1也是整数矩阵，根据正交矩阵的充要条件

则整数正交矩阵A是由处于不同行、不同列的n个1或-1元素构成，其余元素均为0.对A施行整换法变换和整倍法变换(k=-1)得到单位矩阵E，于是右边可得到A-1.

对于一般的整数矩阵A，|A|±1，可用初等变换得到A-1.且为整数矩阵.由于我们对A进行一系列初等行变换相当于左乘相应的一系列初等矩阵.假设对整数矩阵A可经过一系列整初等行变换化为单位矩阵，即存在初等矩阵P1,P2,…,Ps，使得

若初等矩阵P1,P2,…,Ps均为整数矩阵，则两边取行列式得到

而整初等矩阵是由E进过整初等行变换而来，整换法变换和整消法变换不改变行列式，而整倍法变换可改变行列式.若某个整数阵经矩过一次整倍法变换，则相当于左乘以相应的整初等矩阵E(i(k)),k≠0，要保证积为1，则一定存在某个由于是整初等变换，故k只能去±1.

2.3 定理

整数矩阵A，若|A|=±1，则A可经过整初等行变换求其逆矩阵，且逆矩阵仍为整数矩阵.

证明 对于n阶整数矩阵A可逆，且逆仍为整数矩阵，则|A|=±1.不妨设|A|=1，取A第一列中绝对值最小的元素，不妨设为a11:

(1)若第一列中其它元素可被a11整除，则A可经过行的整消法变换化为

(2)若第一列中存在元素不能被a11整除，不妨设为aji，即aj1=a11g+r，其中|r|<|a11|.于是A可经过行的整换法变换和消法变换化为

①若r能整除第一列中的其它元素，则B1可经过行的整消法变换化为

②若r不能整除第一列中的某个元素ak1，即ak1=r g1+r2，其中|r2|<|r|.于是B1可经过行的整换法变换和消法变换化为

如此下去，可经过一系列行的整换法变换和消法变换得到矩阵

其中rs能整除第一列中的其它元素，于是可化为

由于整换法变换和消法变换不改变行列式的值，故|A|=rsAs*=1，且rs∈Z，As*∈Z，故rs=1，As*=1.As*是n-1阶矩阵，同理可经过一系列行的整换法变换和消法变换化为

如此下去，A可经过一系列行的整换法变换和消法变换化为E，于是可得到A-1.

3 整数矩阵的对角化

引理1 设整数矩阵A的左上角元素a11≠0，并且A中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以经过整换法变换，整消法变换，找到一个与A等价的矩阵B，它的左上角元素也不为零，但是它的绝对值比a11的绝对值小.

推论 对于整数矩阵A，一定存在可逆的整数矩阵T1T2，使得

证明 有上定理的证明可知，在得到一系列彼此等价的整数矩阵A,B1,B2…的过程中，就是对原整数矩阵进行整初等换法变换和消法变换，也相当于左乘和右乘相应的整初等矩阵P1,P2,…Ps，Q1,Q2…Qt，即

且di|di+1,i=1L r-1,di∈Z.

〔1〕北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2002.

〔2〕萧树铁，居余马.高等数学第一卷基础与代数[M].北京：清华大学出版社，1995.

〔3〕Anton H,Rorres R,Elementary Linear Algebra Applications Versin,Sixth Edition,New York：John W iley&Sons,1991.

〔4〕Lay D C,Linear Algebra and Its Application,Second Edition,New York：W esley Longman,2000.

〔5〕N icholson W K,Linear Algebra w ith Application,Third Edition,Boston：PWS Publishing Company,1995.

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1673-260X（2013）10-0003-02