无穷和式极限求解的几种方法

蔡 瑾，刘 宁

（1.健雄职业技术学院 职业发展教育中心，江苏 太仓215411；2.辽宁工程技术大学 理学院，辽宁 阜新123000）

无穷和式极限求解的几种方法

蔡 瑾1，刘 宁2

（1.健雄职业技术学院 职业发展教育中心，江苏 太仓215411；2.辽宁工程技术大学 理学院，辽宁 阜新123000）

在理工科高等院校，几乎每个专业都开设有高等数学这一门课.其中，作为极限学的一部分，和式极限计算方法极其重要，被应用的也十分广泛，但同时也是高等数学中的一个难点.鉴于其重要影响，如何正确地分析和探求和式极限就变得尤为关键.为此，本文对其较常见的几种求法进行了归纳，并简单做了一下介绍.

和式极限；求解方法

作为数学分析学的基本工具，极限的地位相当重要，尤其是在函数和数列的研究工作上，更是发挥着不可代替的作用.极限与其他诸多概念之间都保持着很紧密的联系，它是一个独立的知识体系，同时也对连续导数积分等有着一定的影响.作为极限重要的一部分，和式极限和定积分以及无穷级数之间有着密切关联，在极限中万分难得.很多相关书籍都或多或少对和式极限均有提及，只是缺少了专题性的探讨研究.为此，本文将其做了一个总结.

1 定积分定义法

对于高等数学，很多情况下要对函数极限进行计算，这在教学过程中是一个难点.求函数极限的途径有很多，但如果极限以无穷和式的形式出现时，就不能再简单地用一些普遍算法进行计算了，无穷和式指的是无穷多个无穷小之和.遇到此情况时，最常见的算法是先对该数列的前n项进行计算，求出其和值，然后再求和式的极限.如果无穷数列的前n项和计算起来有较大难度，可采取利用定积分定义法对其极限进行求解.

从定积分的定义中可知，定积分不但是积分和的极限，还是无穷和式的极限，即

所以，在对某些无穷和式的极限进行计算时，只需将此和式的形式写成某个函数在某个区间上的积分和的形式，关键在于其函数f(x)和区间[a,b]的确定，如此即可通过定积分求得极限.

分析：本题所要解决的是n项和的和式形式，但其数列的前n项和在求算时有一定的难度，不可像例1（没有例1）那般先求和值，再求极限值，而应该采取一个不同的计算方法，利用定积分的定义来求.只要能找到函数f(x)以及区间[a，b]，形成的形式，就可将其转化为定积分求值.

通过以上分析可知，其数列前n项和都是利用定积分的定义来完成计算工作的，证明了定积分定义法上的实用性和一些特点.数列的无穷和式极限可按照定积分的定义对其进行适当的转化，转化为定积分的积分和的形式，即只要给出了函数f(x)和区间[a，b]，就可以通过计算定积分来求和式的极限.但是函数f(x)与区间[a，b]的选取方法并不固定，常常有很多种，在实际计算的过程中，应具体问题具体分析，使选择有一定的针对性，与计算内容相符合.

2 分组拆项法

该方法就是把很多已知的公式进行分组拆项，然后再求和式极限.

3 对和式变形求和式极限

该计算方法需要对将要求解的和式做一定的变形处理，然后运用相应的数学预算方法来求得和式极限.

两者相减得：

4 利用数列部分和公式求和式极限

该方法主要是通过数列中的一些已知的部分和公式来计算和式极限.

5 付立叶级数展开式求和式极限

在函数的付氏(尤其是正、余弦)展开式中，在其收敛域内选取适当的x值，即可转化为通过对数项级数收敛的讨论求和式极限.

解 将f(x)＝2x2在[-π，π]展成余弦级数如下：

6 结束语

和式极限计算方法极其重要，被应用的也十分广泛，应当正确地分析和探求和式极限.为此，本文对其较常见的几种求法进行了归纳，并简单做了一下介绍.

〔1〕臧雨亭，李艳军.和式极限的几种求法[J].科技信息，2009,37（12）：132-134.

〔2〕陈思源.关于和式极限的几个重要定理及其应用[J].河南科学，2010,28（4）：213-215.

〔3〕曹明.有效求解极限的几种方法[J].科技风，2013,26（4）：176-178.

〔4〕陈小蕾.利用定积分定义求和式极限问题的探讨[J].成才之路，2009,23（16）：154-156.

〔5〕黄东来，丁宣浩.勒贝格积分三种定义的等价证明[J].桂林电子工业学院学报，2004,37（2）：167-170.

〔6〕庹亚林．Stolz定理数列形式的一个逆命题及其推广[J]．重庆工商大学学报（自然科学版），2009，26(4)：322—326.

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1673-260X（2013）10-0011-02