中考代数推理试题例析

代数推理题往往由数与式、方程、不等式、函数等知识组合而成，解题的思想方法也是各类方法相互联系、相互渗透、相互转化，因而各题型之间也相互交叉，作归类只是便于评析有所侧重.

1数与式有关的推理题

这类问题解决的思维方式有两种：一种是合情推理.通过图1从特殊到一般的观察、分析、归纳，作出猜想.另一种是演绎推理.即利用代数知识及变形技巧直接求解，这对学生的运算技能及思维能力是一个考验.

例1（2013自贡）如图1，在函数y=81x（x>0）的图象上有点P1、P2、P3、…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3、…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则S1=，Sn=.（用含n的代数式表示）

分析S1=2（yP1-yP2）=2（812-814）=2×2=4，Sn=2（yPn-yPn+1）=2（812n-812n+2）=81n（n+1）.

点评本题是一道探究式子变化规律的试题，结合图形可将阴影部分的面积直接用代数式表示出来，体现的是一种演绎推理的方法.

例2（2013南京）计算（1-112-113-114-115）（112+113+114+115+116）-（1-112-113-114-115-116）（112+113+114+115）的结果是.

分析设112+113+114+115=m，则原式=（1-m）（m+116）-（1-m-116）m=m+116-m2-m16-m+m2+m16=116.

点评本题是一道繁杂的计算题，观察式子可以发现四个括号中都有112+113+114+115，可采用换元法将数的运算转化为式的化简.使用字母符号进行一般性的运算和推理，从而方便快捷地解决问题.这里体现了“符号意识”和整体思想，有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.

2 与方程有关的推理题

例3（2013乐山）已知一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0 .求证：方程有两个不相等的实数根.

分析欲证一元二次方程有两个不相等的实数根，即证根的判别式Δ>0.

错解因为Δ=（2k+1）2-4×1×（k2+k）>0，所以4k2+4k+1-4k2-4k>0.因为1>0，所以原一元二次方程有两个不相等的实数根.

错因把欲证明的结论当已知条件用，犯了逻辑错误.

正解因为Δ=（2k+1）2-4×1×（k2+k）=4k2+4k+1-4k2-4k=1>0，所以原一元二次方程有两个不相等的实数根.

点评代数推理方法的寻找，既要顾及条件与结论中“形式化”蕴函的数学意义，又要顾及信息之间的联系与差异，每一步推理都需要定理、法则支撑，在书写上又要严谨规范，由于细节过多，学生极易失去最终推理目标.因此，平时解题中要理清思路、认清证明方向、节约思维容量，使整个推理环环相扣，符合逻辑.

例4（2013连云港）小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每段各围成一个正方形.

（1） 要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？

（2） 小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由.

解（1）设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为（10-x） cm.由题意得：x2+（10-x）2=58.解之得x=3或7，所以4×3=12，4×7=28.所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段.

（2）假设能围成.由（1）得，x2+（10-x）2=48.化简得x2-10x+26=0.因为Δ=b2-4ac=（-10）2-4×1×26=-4<0，所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.

点评本题的第（2）问采用了“优化假设”的策略，在处理此类“等不等关系”问题时，优化假设等于给题目增加了一个已知条件，从而打开思路入口的大门，并降低问题的抽象度与复杂性，是一种行之有效的方法.

3与不等式有关的推理题

例5（2013遂宁市）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元.经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人.

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.

解：⑴总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数之间的函数关系式分别是：

y1=07[120x+100（2x-100）]+2200=224x-4800 ，

y2=08[100（3x-100）]=240x-8000.

⑵当y1>y2时，即224x-4800>240x-8000，解得：x<200；

当y1=y2时，即224x-4800=240x-8000，解得：x=200；

当y1200.

即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任选一家公司购买；当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算.

点评本题把函数、方程、不等式结合起来综合考查学生分析和解决问题的能力.鉴于不等式在初中数学的重要地位和作用，同时对学生思维的灵活性、抽象性要求较高，能起到选拔功能，不等式在中考中所占的比重呈上升趋势.

4与函数图象有关的推理题

例6（2013南京）已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m为常数，且a≠0）.

求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.

分析欲证二次函数的图象与x轴有两个公共点，即证当函数值y=0时对应的关于x一元二次方程有两个不相等的实数解.

证明令y=0，得a（x-m）2-a（x-m）=0，因为a≠0，所以（x-m）2-（x-m）=0，所以x2-（2m+1）x+m2+m=0.

因为Δ=（2m+1）2-4×1×（m2+m）=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0，所以此方程有两个不相等的实数解，所以不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.

例7（2013泰州）已知：关于x的二次函数y=-x2+ax（a>0），点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数.

（1）若y1=y2，请说明a必为奇数；

（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；

（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由.

解（1） ）若y1=y2，则-n2+an=-（n+1）2+a（n+1），即：a=2n+1.因为n为正整数，所以2n+1必为奇数，即a必为奇数.

（2） 当a=11时，因为y1≤y2≤y3，所以-n2+11n≤-（n+1）2+11（n+1）≤-（n+2）2+11（n+2）.

化简得：0≤-2n+10≤-4n+18.解得：n≤4，因为n为正整数，所以n=1，2，3，4.

（3）假设存在，则AB=BC.所以[（n+1）-n]2+[-（n+1）2+a（n+1）-（-n2+an）]2

=[（n+2）-（n+1）]2+[-（n+2）2+a（n+2）+（n+1）2-a（n+1）]2

两边平方化简得，n=112a-1.

所以当a为大于2的偶数时，n=112a-1为正整数，符合题意；当a为其它正实数时，n=112a-1不是正整数，不符合题意.

所以对于给定的正实数a，如果a为大于2的偶数，那么存在n=112a-1，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，其它情况都不存在.

点评（1）上述两题都以函数作背景的数形结合的综合性试题，例6与例7中的第（3）问表面上是几何问题，但证明的工具却均为代数知识，这从一个侧面反映了中考命题注重知识间内在联系的考查特点；

（2）例7中的第（3）问是探究性问题，采用了“优化假设”的策略和分类讨论的方法，这对思维的全面性、严密性和批判性提出了较高的要求.

5与函数性质有关的推理题

例8（2013潍坊）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=k1x图象上的两个点，当x1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

分析由x1

图2例9（2013宜宾）某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系如图2所示，从目前记录的结果看，前x年的年平均产量最高，则x的值为（ ）

A.3B.5

C.7D.9

分析设果树前x年的总产量y与x在图中对应点P（x，y）.因为前x年的年平均产量为y1x，其几何意义为直线OP与x轴所夹锐角α正切值（即为直线OP的斜率），根据锐角三角形函数的性质：“锐角正切值随着锐角的增大而增大”，所以锐角α最大，其正切值也最大，对应的前x年的年平均产量y1x也就最大.结合图象可得前7年的年平均产量最高，x=7.故选C.

点评上述两例都是以函数图象作背景，但推理的工具却用到了几何知识，体现了“数形结合”的思想，这从一个侧面反映，拓宽几何解释的广度，可以使抽象的代数推理直观化、具体化、借助几何直观为代数推理指明方向.

人的数学思维有宏观和微观两个方面.宏观上，数学思维乃是生动活泼的策略创造，其中包括直觉归纳、类比联想等诸多方面；从微观上，要求数学思维步步为营、言必有据，进行严谨的逻辑演绎.这两方面的有机结合，才是数学思维的特征.代数推理的解答最终展示在人们面前的往往是后者，但生动的思维创造却往往在前面.求解代数推理题除了平时注重思维训练外，还应注重心理的训练，尤其在解题的目标与条件之间跨度较大、较隐蔽时，必须作多次尝试、探索，才能找到并实现解题目标，因此解题的自信心显得很重要.相信通过科学训练，一定能揭开代数推理题神秘的面纱！

作者简介黄玉华，泰兴市黄桥初级中学教师，本科学历，研究生课程班结业，中学高级教师，泰兴市优秀教育工作者，泰兴市有突出贡献的中青年科技工作者，泰州市数学学科带头人，泰州市 “311高层次人才培养工程”，泰州市初中数学名师工作室成员，发表论文百余篇.