经验搭台迁移唱戏

邢成云

《标准（2011年版）》将原来的“双基”变为现在的“四基”，是基础与时俱进的一种体现，基础始终是数学的根，思维始终是数学的命脉，尤其是“四基”中对基本活动经验的研究扩展开来，极大地推动了“四基”的发展.《标准（2011年版）》教学建议中明文：“积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之中.‘综合与实践是实现这些目标的重要的和有效的载体.”这些要求已经投射到了中考题目中去，近几年有关“基本活动经验积累及应用”的题目不断呈现，为过程性评价提供了良好的载体，在考查活动中，让学生再次经历学习活动的过程，引导学生综合运用已有的或现有的知识经验、活动经验以及思维惯性经验，经历阅读理解、实验操作、类比归纳、探究猜想、验证结论并运用结论等活动的过程，来实现累积活动经验和获取思维路径的个性化目标达成.现采撷2013年部分中考题目做一分析，以期引发教育同仁的关注、思考，为平时的学科教学提供素材，引领好四基的新动向，落实好学生的问题意识、应用意识、创新意识等提升的考查.

1 留白导航，“逆思”迁移

例1（2013北京市）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积.

图3图4小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）.

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为；

（2）求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ=313，则AD的长为.

解析本题是典型的阅读性活动经验积累的题目，此类问题一般是先提供了一个阅读环境，让学生在即读即学的过程中感知渗透在字里行间的思想、方法等，体会、领悟其内核、精髓，获取方法、获得经验，为迁移储备.本题即是首先给定可阅读材料，然后通过留白的方式引领学生的思维触角前伸，步步深入.问题（1）、（2）是经验积累层面，易知（1）的答案为a，（2）的答案为2；其中（1）为（2）垫脚，为（2）的求出提供了不可或缺的条件；而后续的问题解决，并非简单地由正方形图形切换为正三角形，然后照葫芦画瓢，而是在此基础上，逆向为之，知道面积求相关线段，落实方法的迁移，显然是一种“思维倒挂”，是思维视角转换的一种灵动体现，其中读懂图3是问题的关键：受图2的启示，分别延长RD、CA，它们交于点T（如图4），可分别证得△TAD与△TRF均为等腰三角形，结合AD=BE=CF知FT=AC，∠TRF=120°，这样，三个△TRF即可拼成一个等边△ABC，根据等积关系，可推知S△RPQ是三个外展△TAD的面积和，故有S△TAD=319，再作出△TAD的底TD上的高AH即可，设AD=x，则AH=112x，TD=3x，得方程112·3x·112x=319，解之得AD=x=213.

2 施之以法，“平行”迁移

例2（2013张家界）阅读材料：求值：1+2+22+23+24+…+22013.

解：设S=1+2+22+23+24+…+22013，将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+…+22013+22014，

将下式减去上式得2S-S=22014-1，

即S=1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.

请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210；

（2） 1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）.

解析本例仍属于阅读性活动经验积累的题目.题干以阅读的形式，规范地给出一个重要的方法——错项相消法，然后从题干的2014项中仅取出11项作为问题（1），模仿得1+2+22+23+…+210=211-1，显然较范例更简单了，是一种具体化的体现，可以说是问题（2）的缓冲，问题（2）无非是把原来的底数2换成了3，把指数2013换成n而已，所用的方法无异，答案112（3n-1）.通览整个题目可见，这种经验的迁移基本上呈平行状态，是较低层次的，有点“照葫芦画瓢”的感觉.

3 授之一模，“拓展”迁移

例3（2013日照市）问题背景：

如图5，点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图6，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为.

（2）知识拓展：

如图7，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

解析本题的问题背景直接提供了一个求最短距离和的方法模型，采取“实践运用——知识拓展”这种步步为营的渗透方式，启发学生在模仿的意识驱动下获得思路.其中（1）就是在圆的背景下套模型，只要挖掘出模型中的关键要素：由哪些已知元素定未知元素，通过读题不难发现点A、点B就是两个定点，CD就是那条直线l，P是l上的动点，如此一分析，思路就直接转化到提供的背景方法上去了，则有答案22.问题（2）转换了一下，刚才是两个定点，一个动点，而现在是两个动点、一个定点，挑战性来了，需要两次转换：一是假设F点不动，就转换成了原始的模型（图5），只要找到B点关于AD的对称点B′ 即可，而这一点一定位于边AC上（AD为∠BAC的平分线决定），此时的最短长度即为B′F的长度；第二次转换就是让F点动起来，探寻线段B′F的最小值，即转化为定点B′到直线AB的最短距离问题，如图8，根据“垂线段最短”可知只要B′F为AB的垂线段即可，其值为52，至此问题得解.

可见，这个思路是拓展层次的，是转换性迁移、创造性迁移，迁移的不单单是具体的方法，还有探研问题的宏观思路，从而把两点之间线段最短问题切换成了“垂线段最短”问题.

4 蕴势驱动，“比对”迁移

例4（2013陕西省）问题探究

（1）请在图9中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图10，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.

问题解决

（3）如图11，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且b>a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.

解析问题（1）起点很低，可以说人人可为，过圆心作两条相互垂直的直线即可；问题（2）稍提难度，突破了图形的对称中心，设置了一个一般位置的定点再四等分，可见，先把它二等分不难，过点M和正方形的对称中心O即可，下面的关键在于如何把每一份二等分？这就是本题的“眼”所在！实际上至此还是迁移问题1的思路，只要画出的另外一条直线过中心O且与直线MO垂直即可，一试成功，其证明还是比较常规的，当然也离不开全等的助力；有了（1）、（2）画图、阐明理由等经验，为问题（3）蕴足了能、蓄好了势，问题（3）就相当于把问题（2）分成的两图形中的一个实施了扭动，且需要二等分，可见，只要寻到图12、图11的内在联系即可获得思路.我们观察图12，选取直角梯形BCFE，再观察图11进行比对，不难发现它们均存在着“梯形两底和等于一腰”的共性，由图12中OG将BCFE面积二等份的经验获得启示，作出猜测，在图11的BC边上作BQ=CD=b，成图13，连接BP并延长交CD的延长线于点E，证得△ABP≌△DEP，求出BP=EP，连接CP，求出S△BPC=S△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，然后通过计算，可行.

5 搭台设阶，“延伸”迁移

例5（2013德州市）（1）如图14，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE.连接BE，CD.请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

（2）如图15，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由.

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图16，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE.求BE的长.

图14图15图16解析从本题的考查初衷不难发现，本题再现学生的学习活动，关注学生获知的过程评价，充分体现了学生思维的连贯性、递进性、深刻性，蕴含着对学生基本活动经验的考查，学生通过完成问题（1）的作图获得外扩图形的经验，同时得到一个重要结论“BE=CD”，以此为起点，把外扩图形进化为正方形后自然形成猜想“BE=CD”，获得结论，证明思路一脉相承，有了这些积淀，形成了迁移的蓄势，然后通过问题（3）高远立意、高标引领，促成构图意识：图16已经有了右侧的一个“外展图”，再作出左侧的外展图（以AB、AD为直角边的等腰直角三角形）即可呈现类似前面的图形，把求BE得长切换为求CD的长（用经验）.而求CD长的基本思路为：如图16，结合∠ABC=45°可知∠DBC=90°，根据题意得BD=AB2+AD2=1002+1002=1002，则CD=BD2+BC2=（1002）2+1002=1003，如此BE可定.

纵观整个过程可以发现，以问题（1）为初始点，搭建引桥，投射信息，诱动思考，步步深入，通过问题（2）层级递进，沉淀经验，在获得经验的惯性裹挟下，顺势而为，为问题（3）拨开迷雾，启发思路，形成迁移，实现了基本经验的灵活驾驭，是一种经验的“喷薄”，是学以致用的体现，同时也是对学生各种能力尤其是理解力、应变力的考查.

6 感性操作，“理性”迁移

例6（2013年仙桃市、潜江市、天门市江汉油田）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；……；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形.如图17，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形.

（1）判断与操作：

如图18，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由.

（2）探究与计算：

已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a<20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值.

（3）归纳与拓展：

已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b

图17图18图19解析本题是典型的操作性活动经验——通过做数学获得直觉经验，在尝试的基础上通过思考上升到理性，是手脑联动活动基本经验的一种方式.本题以矩形、正方形性质为载体，心怀“n阶奇异矩形”的概念，佐以动手、借力分类，寻找规律，考查了学生的现场学习力、思维变通力.解决本题的关键在于理解好“n阶奇异矩形”的概念，以图17为起点，对照概念去领悟给定的概念，这是经验积累的开始，稍事操作即可获得问题（1）的答案，在图18中模仿图17，连续纵向剪下两个正方形后剩下一个长为2、宽为1的长方形，至此，横向拦腰一线（图19），即可发现矩形ABCD是3阶奇异矩形，并丰富了操作经验——可纵、横两个方向剪；问题（2）不是单纯的画图操作，而是告知已经是3阶奇异矩形，逆向探测示意图，并伴以计算，增大了探究的力度，其中不乏多次尝试、多次调整：显然，长是宽的4倍的肯定行，对应着a=5，有问题（1）解决获得的经验（两纵一横）可知，长、宽之比5∶2时可行，对应着a=8，继续尝试，一纵两横，对应着a=15，还有一类是一纵一横再一纵，对应着a=12.实际上，整个过程可逆向推测：由于是3阶奇异矩形，也就是第三次操作前短边与长边之比为112即可，依次思考，第两次操作前短边与长边之比为113，213即可，由此推断，第一次操作前短边与长边之比为114，314，215，315即可（图20）.

图20问题（3）难度陡升，奇异矩形既升了阶，成为4阶，同时原矩形的两邻边均待定，挑战性可想而知，但由于有了问题（2）解决的经验，根据题意得出第1次操作前短边与长边之比为115，415，317，417，217，517，318，518八类，第2次操作前短边与长边之比为：114，314；215，315，第3次操作前短边与长边之比为：113，213，最终得出长边和短边的比是1∶2，即可进行操作后得出正方形.

7 模拟课堂，“智能”迁移

例9（2013山西省）数学活动——求重叠部分的面积.

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图211将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G.求重叠部分（△DCG）的面积.

图211图212图213（1）独立思考：请解答老师提出的问题.

（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图212，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程.

（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题.“爱心”小组提出的问题是：如图213，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积.

任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是；

②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）.

解析问题（1）相对简单，是通过三角板特殊的摆放状态，用“独立思考”呈现问题，合情入理，可求SDCG=112×CG·DG=112×4×3=6；问题（2）打破了特殊现状，借“希望”小组之名提出问题，旋转至相对一般的位置再解答，向前迈了一个台阶，需要相似（或勾股定理）构建方程关系支持，可证∠1=∠2，所以GH=GD.可证AG=GD，所以AG=GH，所以点G是AH的中点.在Rt△ABC中，可得AD=AB=5.易证△ADH∽△ACB，所以AD1AC=DH1CB，则DH=1514，所以S△DGH=S△ADH=112×112×DH·AD=75116，有一定难度，故用“合作交流”呈现，彰显人文关怀；问题（3）的第一个问题与问题（2）可谓如出一辙，可求答案为，然后提出了一个带有模仿性质的问题，拾级而上，要求学生自己提出一个符合老师要求的问题，把问题推向高潮（此题答案不唯一.示例：将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积，此处图略）.可见，整个数学活动假以“独立思考——合作交流——提出问题”的脉络，全程展现了2011年版课标新增之“能”——“提出问题的能力”的意识，以帮助学生养成善于提出问题的习惯，可以说模拟再现了课堂上老师对学生活动经验积累的助力，久而久之，学生慢慢会积淀下厚积薄发的能量，促成经验的智能化，进而催化问题的提出，如此命题显然凸显出课标的内核，有倡导和引领之意.

小结：纵观以上每一细目中的题目，可获得如下共性的的思维脉络：感知（通过研读或操作等数学活动，获取初步经验）——领悟（对经验的提炼、积累）——变通（把经验系统化、智能化）——迁移（活学活用，把经验转化为新情景下的思路，形成新的经验）.

知识是基础，方法是中介，思想是主脉、是本源，有了思想、有了策略，知识、方法、技能才能实现积淀经验的迁移，进而上升为智慧.积累数学活动基本经验，其“中介”是多种多样的，且没有严格的界限，它们之间不乏交叉或相容，以上的条目分述仅是着眼其侧重点而为，非循逻辑而分类，迁移的途径同样如此，不拘一格、不拘同模.本文洋洋数千言，意在通过集中展现这些相关数学基本活动经验的中考题，顺应新的课标理念，落实好过程性目标的考查，以引领教育教学的健康航向！