模型归一，掌握概率

何君青

2011年，中华人民共和国教育部颁布《义务教育数学课程标准》.在新课标的指引下，各地的中考进行了相应的改革，试题内容涉及“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个学习领域.概率试题由于难度不大，很多教师在教学的过程中往往重视不够，中考前常让学生通过多练习相应题目而达到熟练掌握.但此办法不利于学生后继的学习，对学生数学能力的培养是不利的.所以本文就概率的深层次掌握：模型归一，结合笔者教学过程中的所思所得与读者交流.

1概率试题类型

各地对“概率”这部分内容的考查主要体现在两个层面，一是了解概率的意义，计算简单事件发生的概率；二是通过概率的计算或者频率估计概率来解决一些简单的实际问题.

1.1了解概率的意义

随机事件发生的可能性大小是概率中有关概念的核心，是概率这部分内容的基石.所以，很多中考试题很重视对概率有关概念的考查，以达到测量学生对随机事件的理解和认知水平.此类试题常以选择题的形式呈现.

例1（2013年宜昌）2012～2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是833%，下列说法错误的是（ ）.

A. 科比罚球投篮2次，一定全部命中

B. 科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C. 科比罚球投篮1次命中的可能性较大

D. 科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

1.2计算简单事件发生的概率

从事件本身发生的可能性来把握和计算简单随机事件发生的概率是初中概率的重要内容，也是甄别学生理解随机事件、利用计算概率为决策判断提供依据的重要视角.各省市对概率的考法多样，既有直接求概率，也有利用图表或树状图求概率.这是对学生概率基础知识和基本能力的考查，同时渗透对基本思想和基本活动经验的考查，符合“新课标”对概率部分的基本要求.此类问题即可以选择题、填空题形式呈现，也可以解答题形式呈现.

例2（2013年郴州）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是 .

例3（2013年常州）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同.

（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？

（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率.

点评中考中计算随机事件概率的试题是概率典型考题，题目常以投掷骰子、袋中摸球、转动转盘、抽取扑克为载体进行考查.一般情况下，规定一步实验可以直接写答案，达到两步实验的题目要列树状图或表格加以解释.

1.3用频率估计概率

用频率估计概率主要是指在具体的问题情境中利用大量反复实验的频率来估计概率，题目设计的目的是考查学生对模拟实验这种方法的认识和理解水平的基础上，进一步考查学生运用知识的能力.此类问题常以选择题、填空题的形式呈现，中考中考查并不多.

例4（2013年资阳）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）.

A.12个B.16个C.20个D.30个

1.4用概率解决实际问题

《新课标》特别强调数学背景的“现实化”、“数学化”.倡导能用数学的眼光认识世界，并能对数学知识和数学方法处理解决周围的实际问题.近些年来中考多次考到数学以生活为背景的考题，概率就是其中一个重要体现.这样的考法对理解概率的意义和本质有促进作用，引领改进和完善概率教学具有正确的导向作用.此类问题常以解答题形式呈现.

例5（2013年晋江）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、-2、-3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片.

（1）求小芳抽到负数的概率；

（2）若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率.

例6（2013年包头）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜.如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘.

（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；

（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由.

转盘A转盘B点评这两道题目有共同点：其一，问题设置的背景均是学生熟悉的素材；其二，问题都能较好的揭示概率的应用价值，在一定程度上让学生在解决问题的过程中，体会到学习概率的意义.

2“模型归一”的运用

近几年中考数学试题难度逐年增加，为了应付中考灵活的变化，部分教师在平时的教学中片面追求课堂进度，常常就题论题，强化解决问题的常规思维，反复操练，课堂上一部分学生忙着记笔记，完全成为知识的容器；一部分学生只关注结果，忽视过程性收获，形成了不良的思维定势，以至于考试时受以往知识的负迁移，造成不应有的失误.针对这一状况，笔者认为，在概率的教学过程中，应尽可能减少“题”的教学，关注方法的指导，将众多的概率问题归纳起来，用一个模型诠释，这样可能便于学生掌握和熟练的运用，从而达到能力的提高，思维的升华.

顾名思义，模型归一的方法就是将概率中的众多题目用一个模型来概括，将情况复杂的一个个题目转化成我们熟悉的一个典型模型加以解决. 不难发现，在概率的中考题中，常借助“掷骰子”、“摸球”、“转盘”等载体呈现，我们不妨将题目的情境均归一为摸球实验，分为有放回、无放回两种情形，便可以将很多问题快速转换了.

例7（2011年南京）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者.求下列事件的概率：

（1）抽取1名，恰好是女生；

（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生.

该题完全可以利用模型归一改编成：

在一个不透明的袋子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同.

（1）从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是多少？

（2）从袋子中随机摸出两个球，一个红球一个白球的概率是多少？

例8（2013年南京）（1） 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同.求下列事件的概率：

① 搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；

② 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；

（2）某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是（）.

A.114B.（114）6C.1-（114）6D.1-（314）6

点评本题的第一问实际上是一个典型的摸球实验，概率比较好求，而第二问实际上就是在利用模型归一的方法，第二问等同于：一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同， 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，连续摸球6次，均为红球的概率.若考生在做题的过程中发现第二问就是第一问的一个延伸，便会快速而正确的解决.

3模型归一的思考

学会反思，善于积累，才能对自己的学习习惯、学习方法进行监控，才能为自己的学习效果承担责任.在概率的考题中，善于运用模型归一的方法做题，便可以将很多问题进行转化，变成我们熟悉的问题，笔者认为概率问题模型均可归结为摸球问题，有3种常见题型：

（1）在一个不透明的袋子里共有m个球，除颜色外都相同，其中编号分别为1，2，…，m，摸两个球，摸一个球后将其放回，再摸一个球的概率.（此类模型常解决投掷骰子等有放回的问题）

（2）在一个不透明的袋子里共有m个球，除颜色外都相同，其中编号分别为1，2，…，m，摸两个球，摸一个球后不放回，再摸一个球的概率.（此类模型常解决在一个班级选择学生等无放回的问题）

（3）在多个不透明的袋子里各装有m个球，除颜色外都相同，在每一个袋子里各摸一个球的概率.（此类模型常解决转盘、选食堂等问题）

波利亚说过：拿一个有意义且又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.利用模型归一法，有利于学生正确、快速理解概率的相关问题.纵观各省市近年来的中考题，已经趋向于对数学能力的考查，不再仅仅考查学生已经学过的知识，所以教学的过程中更应关注学生方法的掌握，在课堂上也应注重融知识、方法、思想、能力于一体.不能走“题海战术”、“强化训练”的老路，要开展归纳性学习，让学生认识数学的特点，把握其规律，平时就带着训练学生的思维，让学生善于把复杂的问题简单化，这样才能提高学生答题的能力，快速正确的掌握知识，真正让成绩提升起来.