解直角三角形中涉及的主要数学思想

刘长征

解直角三角形是初中数学的重要内容之一，利用解直角三角形的方法解答一些实际问题，是同学们学习中的难点之一，也是近几年中考的热点问题.在解答与之相关的问题时，除必须掌握直角三角形的边角关系及有关概念（如仰角、俯角、方向角、坡角等）外，还要灵活运用一些重要的数学思想.本文从2013年各地的中考题中选择几例进行分析说明.

1数形结合的思想

解直角三角形时要用到三边之间的数量关系，边角之间的关系等，所有解直角三角形的应用题，都是首先在对图形进行直观分析的基础上，找出直角三角形中边、角之间的关系，然后根据给定的条件，选择有关的关系式解决的.在这个过程中自然就把数和形结合在了一起，直接体现着数形结合的思想.所谓数形结合思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案.

例1（天津市）天塔是天津市的标志性建筑之一.某校数学兴趣小组要测量天塔的高度.如图1，他们在点A处测得天塔的最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m.根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan 36°≈073，结果保留整数）.

分析仔细分析图形1，发现本题涉及两个直角三角形，Rt△ADC和Rt△BDC，考虑Rt△ADC，则有AD=CD，考虑Rt△BDC，则有tan∠BCD=BD1CD.

图1解如图1，根据题意，有∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112.因为在Rt△ADC中，∠ACD=∠CAD=45°，所以AD=CD.又AD=AB+BD，所以BD=AD-AB=CD-112.因为在Rt△BDC中，∠BCD=90°-∠CBD=90°-54°=36°，tan∠BCD=BD1CD，即tan 36°=BD1CD，得BD=CD·tan 36°.由此可得，CD·tan 36°=CD-112.所以CD=11211-tan 36°≈11211-0.73≈415.

答：天塔的高度CD约为415米.

点评从最广泛的意义上来理解数学的话，它就是研究两个问题：数和形.数与形是数学大厦最深处的两块奠基石，全部数学都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的.两者在内容上互相交叉，在方法上相互渗透、补充、并在一定条件下互相转化，这两种形式的转化，数学中叫做数形结合.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

本题虽然是道计算题，但从解答的过程看，一刻也离不开图形的“直观辅助”作用，可以说没有这种直观形象的辅助作用，计算起来比较困难.事实上，解直角三角形的问题都体现了数形结合的思想.

2转化的思想

转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思路都是转化思想的体现.数学解题的过程实际上就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答.利用解直角三角形解决有关的数学问题时，经常遇到非直角三角形的问题，这时往往需要添加辅助线，把非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题.

例2（云南省八地市）如图2，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向.请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？

分析观察发现，图2是一个斜三角形，我们会解答的问题都属于直角三角形的问题.为此需要添加一条辅助线，设法把要求距离放在一个直角三角形中.不难发现，过点A作AD⊥BC，交BC于点D.

图2解 过点作AD⊥BC于D，根据题意得∠ABC=30°，∠ACD=60°，所以∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，所以CA=CB，因为CB=50×2=100（海里），所以CA=100（海里），在直角△ADC中，∠ACD=60°，所以CD=112AC=112×100=50（海里）.

故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近.

点评原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”时说“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题.”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的.常见的转化方式有：一般向特殊转化，等价转化，复杂向简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等.

本题目所给出的背景不是直角三角形，那么必须将它转化为直角三角形来解决.通过添垂线将原三角形转化为熟悉的两个直角三角形的问题来解决.因此“化斜为直”是解直角三角形的基本方法之一.

3方程的思想

方程的思想就是从分析问题的数量关系着手，适当设定未知数，运用定义、公式、定理和已知条件，把所研究的数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，方程的思想体现了已知与未知的统一.在解直角三角形应用题中，当找不到可解的直角三角形时，要仔细分析已知条件和未知元素之间的关系，利用设未知数列出方程求解.

例3 （四川省乐山市）如图3，山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC，在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60°和45°，求山的高度BC（结果保留根号）.

分析设BC的长为x，则DC=x，在Rt△ACD中，利用∠ADC和DC求出AC，再利用AC=AB+BC=20+x建立方程.

解设BC的长为x，在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°，所以∠DBC=45°，则DC=BC=x.

在Rt△ACD中，因为tan∠ADC=AC1CD，所以AC=CD·tan 60°=3x.

图3根据AC=AB+BC=20+x，可得20+x=3x，解得x=10（3+1）米.

点评 笛卡尔曾说过一句话“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解.”在我们的现实生活中存在着大量的等量关系，而方程（组）就是描述现实世界中的数量关系的重要语言，所以建立方程（组）就成为解决实际问题的常用方法，在建立方程的过程中自然涉及到方程的思想.

此题是解直角三角形在现实生活中的应用，所求的BC虽然在Rt△BCD和Rt△ACD中，但由于这两个直角三角形都没有已知的边长，因此无法求解.设了BC=x后，DC和AC都可以用含x的代数式表示出来，则根据AC=AB+BC可列出方程，这是关键的一步.

在解直角三角形的问题中，除了用到数形结合思想、转化思想和方程思想外，还用到数学建模的思想，事实上，以上三个例题都归结为建立直角三角形模型问题.建模思想是最重要的数学思想方法之一，其本质是培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.从本质上讲，数学就是一门建模与用模的科学.所谓建模，是指从众多的自然现象和现实生活与生产实际中通过观察、类比、抽象、概括等一系列思维活动提炼、总结出同类事物的共同特征，从而构建出概念、公式、定理、法则等一系列数学模型.

数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁.对数学思想方法的学习和掌握已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容.数学思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成的.这就要求教师们加强对数学思想方法教学与研究，以便在教学中结合具体的内容适时地向学生渗透数学思想方法，不断提高学生的数学素养.