奇妙三角板变出大乾坤

题目：有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=43.将这副直角三角板按如题图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.

（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=度；

（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围.

图1图2图3本题以学生非常熟悉的直角三角板为载体，知识通俗易懂，设计的三个问题有层次性，体现了压轴题的选拔功能.试题的第（1）、（2）问相对比较容易，大部分考生还是可以轻松解决；第（3）问就是本道压轴题的难点和精彩所在，对学生的解题能力和思维深度都提出了较高的要求.首先，要求考生对一副三角板的平移运动要有深刻的理解，考验了考生的几何想像能力和作图能力；然后还要准确判断在一副三角板移动过程中重叠部分的三种情况，考查了考生分类讨论的数学思想；其次，再发现三角板重叠部分的第一和第二种情况都是不规则的四边形，求它们的面积要运用分割法或者面积相减法，考查了考生数形结合的数学思维方式；然而更进一步的是怎样运用相似三角形或者解直角三角形的方法来表示相关线段的函数关系，渗透了函数的数学思想方法；最终还要经过准确的代数运算才能得到最后结果，考验了考生的计算能力和心理素质.这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的.本题详细解法在此不给出，作者可查阅相关资料。本题无疑是一道题材新颖、内涵丰富的好题，以下笔者将继续延伸它的内涵、挖掘它的亮点.

1试题的加强

在试题解答的时候笔者发现第（3）问还有两个重要问题值得探究，一是在两块三角板平移的过程中，重叠部分面积何时取得最大值，其最大值是多少；二是在两块三角板平移过程的第一种情况（0≤x≤2），非重叠部分形成的两个三角形（△BFN和△EMN）面积何时相等.以下笔者将把这两个问题当成本道压轴题的第（4）和第（5）问作出解答.

（4）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求x为何值时，y取得最大值，其最大值是多少？

解：由第（3）问结论得，

①当0≤x≤2时，y=-3+114x2+4x+8，

函数y的图象是一个开口向下的抛物线，其对称轴为x=43-4，

所以当0≤x≤2时，函数y单调递增，所以当x=2时，y取最大值15-3；

②当2

函数y的图象是一个开口向下的抛物线，其对称轴为x=0，

所以当2

所以当x=2时，y取最大值15-3；

③当6-23≤x<6时，y=36-x212，

函数y的图象是一个开口向上的抛物线，其对称轴为x=6，所以当6-23≤x<6时，函数y单调递减，所以当x=6-23时，y取最大值63；

因为15-3>63，所以综上①②③得，当x=2时，y取最大值15-3.

（5）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，其中0≤x≤2（如图4），求x为何值时，非重叠部分的两个三角形（△BFN和△EMN）面积相等.

图4解：作NH⊥DE于H点，设GF=a，则a=3+112x.

因为GN=3a=33+112x=3+312x ，所以S△BFN=112BF·GN=112x·3+312x=3+314x2.

又因为NH=DF-GF=4-a=4-3+112x，

ME=DE-DM=43-x+4=43-4-x，

所以S△EMN=112ME·NH=11243-4-x4-3+112x，

所以当S△BFN=S△EMN时，有

3+314x2=11243-4-x4-3+112x.

化简整理得x2+8x-163-1=0，解得x=-4±43（负根舍去）.

所以当x=43-4≈1.26时，S△BFN=S△EMN.

2试题的推广

“从特殊到一般，再从一般到特殊.”是数学探究的常用手法，故此，随着对这道中考数学压轴题研究的逐步深入，以下笔者进一步将本道试题的问题和结论推广到一般情况.

图5图6问题：有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=b，b>0在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=213b，DE=2313b.将这副直角三角板按如题图5所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.

推论一：在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时（如图6），则DE=FC.

推论二：在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，则

y=-3+114x2+213bx+219b2，0≤x≤b13

-3-314x2+b212，b13

3b-x212，3-313b≤x

推论三：在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，则当x=b13时，y取最大值15-3136b2.

推论四：在三角板DEF运动过程中，设BF=x，其中0≤x≤b13（如图6），

则当x=23-213b≈0.21b时，S△BFN=S△EMN.

对于上述试题推广结论的证明，读者可参考本文试题解析和试题加强来完成.虽然推广的方法和形式和原来试题方向基本一致，只是把“AB=AC=6”推广为“AB=AC=b”，其余条件进行适当调整，但是对于初中学生来说，这样的推广能从具体数字推广到一般字母，对揭示问题的本质和提升学生思维的深度还是有现实价值和意义的，实践证明通过试题的推广可以培养学生严谨的治学态度和透过表象看本质的良好数学素养.

综上所述，通过这道别致生动，丰富有趣的中考压轴题的深入探究和推广，笔者发现此题可作为研究性教学的典型案例，但需要提出的是，对本题进行研究性教学时，学生可重点研究试题的立意以感悟考查的目的与学习重点，研究试题的解法以优化解题策略和方法，研究试题的推广以培养探究意识和创新精神，但学生对试题的背景、试题的改编等问题不应深究，对试题的推广也应该量力而为.

作者简介梁文威，男，1979年1月出生，广东新会人，中学高级教师.曾获广东省教育创新成果二等奖等十多项省级以上表彰和奖励，在省级以上学术期刊发表文章多篇.