对一道中考题的探究

2013年的浙江省绍兴市中考数学卷亮点频现，试卷更加注重以能力立意，关注对学生数学基本活动经验的积累，尤其是第16题更让整卷亮丽出彩.该题最大的亮点是为考生提供了自主探索与研究的空间，能有效地甄别考生的综合素质与创新能力，考查思维的层次性与差异性，并对教师改进教学行为和学生转变学习方式起了较好的导向作用.

1试题呈现

矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E，F，点Q关于直线BC，CD的对称点分别是G，H.若由点E，F，G，H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为.

（2013年浙江省绍兴市中考数学卷第16题）

2问题解决

图1探究1点P，Q在如图1所示位置时四边形EFGH具有怎样的特征.

根据轴对称的性质可知∠PAB=∠FAB，∠PAD=∠EAD，所以∠PAF+∠PAE=2（∠PAB+∠PAD）=2∠BAD=180°，所以点A在四边形EFGH的边EF上.

同理，点B，C，D均在四边形EFGH的边上.

易得∠PBF=2∠PBA，∠QDH=2∠QDC，∠PBA=∠QDC，所以∠PBF=∠QDH，所以FG∥EH.

结论1无论点P，Q在对角线BD的何处，总有FG∥EH，且矩形ABCD的顶点均在四边形EFGH的边上.

探究2点P，Q处于对角线BD上怎样的特殊位置时四边形EFGH为平行四边形.

如图2，连结AC，交BD于点O，则AC=BD=5.若四边形EFGH为平行四边形，则FG=EH，EF=HG.根据轴对称的性质可知BF=BP，BG=BQ，AP=AE=AF，所以FG=BF+BG=BP+BQ=2BP+PQ，AF=112EF.

同理EH=DH+DE=DQ+DP=2DQ+PQ，CG=112HG，所以BP=DQ，AF=CG.又因为EF∥HG，所以四边形AFGC为平行四边形.所以FG=AC=EH=5.

结论2当点P，Q是对角线BD上，且BP=DQ时，四边形EFGH为平行四边形，且EH=FG=5.

探究3四边形EFGH为菱形时点P，Q在对角线BD上的位置的确定.

若四边形EFGH为菱形，则EF=FG=GH=HE=5.所以AP=112EF=25，又因为在矩形ABCD中，OA=112AC=25，所以AP=OA.

图2图3如图2，当点P在BO上时（点P不与点O重合），显然AP>OA；

当点P与点O重合时（如图3），AP=OA，此时P，Q两点重合；

当点P在OD上时（点P不与点O重合），由BP=DQ，OB=OD，得OP=OQ.

图4图5如图4，过点A作AN⊥BD于点N，则AN=AB·AD1BD=24，ON=OA2-AN2=2.52-2.42=07，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得OP=2ON=14，故PQ=2OP=28.

结论3当点P，Q是对角线BD上不重合的两点，且四边形EFGH恰好为菱形时，PQ的长为28.

探究4四边形EFGH是否可能为矩形或正方形？

如图5，过点A作AN⊥BD于点N.

若四边形EFGH为矩形，则AP⊥BD，此时P，N两点重合，故PQ=2OP=2ON=14.

由“垂线段最短”可知AP

结论4当点P，Q是对角线BD上的两点，且BP=DQ，PQ=14时，四边形EFGH恰好为矩形；无论点P，Q在对角线BD的何处，四边形EFGH不可能为正方形.

3类比探求

矩形ABCD中，AB=nAD（n≥1），P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E，F，点Q关于直线BC，CD的对称点分别是G，H.试探究是否存在这样的点P，Q，使四边形EFGH为特殊平行四边形？若存在，写出n所需满足的条件，并求出此时PQ1BD的值（用含n的代数式来表示）；若不存在，请说明理由.

分析首先我们来探究四边形EFGH是否可能为正方形.

由探究4易知：当n=1时，且点P（Q）与点O重合时（如图6），四边形EFGH为正方形，此时PQ=0，则PQ1BD=0；

我们再来进一步探究四边形EFGH是否可能为矩形.

在Rt△BAD中，BD=AB2+AD2=n2+1·AD，OA=112BD=n2+112·AD.

如图5，在Rt△AON中，AN=AB·AD1BD=n1n2+1·AD，ON=OA2-AN2=n2+1122-n1n2+12·AD=n2-1214n2+1·AD=n2-112n2+1·AD.

由探究4可知：当P，N两点重合时，四边形EFGH为矩形.

此时PQ=2ON=n2-11n2+1·AD.

故PQ1BD=n2-11n2+11n2+1=n2-11n2+1.

所以，当n>1时，且BP=DQ，AP⊥BD时，四边形EFGH为矩形，此时PQ1BD=n2-11n2+1；

图6图7接下来我们探究四边形EFGH为菱形时的极端情形.

当点P（E）与点D重合时（如图7），此时点Q（G）与点B重合，

若四边形EFGH为菱形，则∠ADB=60°，

在Rt△BAD中，n=AB1AD=tan 60°=3.

所以，当n>3时，四边形EFGH不可能为菱形；当1

由探究3可知：当AP=OA时，四边形EFGH为菱形.

当点P（Q）与点O重合时（如图3），PQ=0，故PQ1BD=0；

当点P不与点O重合时（如图4），

在Rt△AON中，ON=n2-112n2+1·AD，此时PQ=2OP=4ON=2n2-11n2+1·AD.

故PQ1BD=2n2-11n2+11n2+1=2n2-11n2+1.

所以，当1

作者简介徐骏，男，1978年生，男，浙江上虞人，中学一级教师，主要从事课堂有效教学和解题教学研究.近年来，发表论文70余篇，其中有20余篇被人大复印报刊资料全文转载或列为索引.