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对一道中考题的探究

2013-04-29徐骏

中学数学杂志(初中版) 2013年5期
关键词:对称点对角线菱形

2013年的浙江省绍兴市中考数学卷亮点频现,试卷更加注重以能力立意,关注对学生数学基本活动经验的积累,尤其是第16题更让整卷亮丽出彩.该题最大的亮点是为考生提供了自主探索与研究的空间,能有效地甄别考生的综合素质与创新能力,考查思维的层次性与差异性,并对教师改进教学行为和学生转变学习方式起了较好的导向作用.

1试题呈现

矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P,Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD,AB的对称点分别是点E,F,点Q关于直线BC,CD的对称点分别是G,H.若由点E,F,G,H构成的四边形恰好为菱形,则PQ的长为.

(2013年浙江省绍兴市中考数学卷第16题)

2问题解决

图1探究1点P,Q在如图1所示位置时四边形EFGH具有怎样的特征.

根据轴对称的性质可知∠PAB=∠FAB,∠PAD=∠EAD,所以∠PAF+∠PAE=2(∠PAB+∠PAD)=2∠BAD=180°,所以点A在四边形EFGH的边EF上.

同理,点B,C,D均在四边形EFGH的边上.

易得∠PBF=2∠PBA,∠QDH=2∠QDC,∠PBA=∠QDC,所以∠PBF=∠QDH,所以FG∥EH.

结论1无论点P,Q在对角线BD的何处,总有FG∥EH,且矩形ABCD的顶点均在四边形EFGH的边上.

探究2点P,Q处于对角线BD上怎样的特殊位置时四边形EFGH为平行四边形.

如图2,连结AC,交BD于点O,则AC=BD=5.若四边形EFGH为平行四边形,则FG=EH,EF=HG.根据轴对称的性质可知BF=BP,BG=BQ,AP=AE=AF,所以FG=BF+BG=BP+BQ=2BP+PQ,AF=112EF.

同理EH=DH+DE=DQ+DP=2DQ+PQ,CG=112HG,所以BP=DQ,AF=CG.又因为EF∥HG,所以四边形AFGC为平行四边形.所以FG=AC=EH=5.

结论2当点P,Q是对角线BD上,且BP=DQ时,四边形EFGH为平行四边形,且EH=FG=5.

探究3四边形EFGH为菱形时点P,Q在对角线BD上的位置的确定.

若四边形EFGH为菱形,则EF=FG=GH=HE=5.所以AP=112EF=25,又因为在矩形ABCD中,OA=112AC=25,所以AP=OA.

图2图3如图2,当点P在BO上时(点P不与点O重合),显然AP>OA;

当点P与点O重合时(如图3),AP=OA,此时P,Q两点重合;

当点P在OD上时(点P不与点O重合),由BP=DQ,OB=OD,得OP=OQ.

图4图5如图4,过点A作AN⊥BD于点N,则AN=AB·AD1BD=24,ON=OA2-AN2=2.52-2.42=07,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得OP=2ON=14,故PQ=2OP=28.

结论3当点P,Q是对角线BD上不重合的两点,且四边形EFGH恰好为菱形时,PQ的长为28.

探究4四边形EFGH是否可能为矩形或正方形?

如图5,过点A作AN⊥BD于点N.

若四边形EFGH为矩形,则AP⊥BD,此时P,N两点重合,故PQ=2OP=2ON=14.

由“垂线段最短”可知AP

结论4当点P,Q是对角线BD上的两点,且BP=DQ,PQ=14时,四边形EFGH恰好为矩形;无论点P,Q在对角线BD的何处,四边形EFGH不可能为正方形.

3类比探求

矩形ABCD中,AB=nAD(n≥1),P,Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD,AB的对称点分别是点E,F,点Q关于直线BC,CD的对称点分别是G,H.试探究是否存在这样的点P,Q,使四边形EFGH为特殊平行四边形?若存在,写出n所需满足的条件,并求出此时PQ1BD的值(用含n的代数式来表示);若不存在,请说明理由.

分析首先我们来探究四边形EFGH是否可能为正方形.

由探究4易知:当n=1时,且点P(Q)与点O重合时(如图6),四边形EFGH为正方形,此时PQ=0,则PQ1BD=0;

我们再来进一步探究四边形EFGH是否可能为矩形.

在Rt△BAD中,BD=AB2+AD2=n2+1·AD,OA=112BD=n2+112·AD.

如图5,在Rt△AON中,AN=AB·AD1BD=n1n2+1·AD,ON=OA2-AN2=n2+1122-n1n2+12·AD=n2-1214n2+1·AD=n2-112n2+1·AD.

由探究4可知:当P,N两点重合时,四边形EFGH为矩形.

此时PQ=2ON=n2-11n2+1·AD.

故PQ1BD=n2-11n2+11n2+1=n2-11n2+1.

所以,当n>1时,且BP=DQ,AP⊥BD时,四边形EFGH为矩形,此时PQ1BD=n2-11n2+1;

图6图7接下来我们探究四边形EFGH为菱形时的极端情形.

当点P(E)与点D重合时(如图7),此时点Q(G)与点B重合,

若四边形EFGH为菱形,则∠ADB=60°,

在Rt△BAD中,n=AB1AD=tan 60°=3.

所以,当n>3时,四边形EFGH不可能为菱形;当1

由探究3可知:当AP=OA时,四边形EFGH为菱形.

当点P(Q)与点O重合时(如图3),PQ=0,故PQ1BD=0;

当点P不与点O重合时(如图4),

在Rt△AON中,ON=n2-112n2+1·AD,此时PQ=2OP=4ON=2n2-11n2+1·AD.

故PQ1BD=2n2-11n2+11n2+1=2n2-11n2+1.

所以,当1

作者简介徐骏,男,1978年生,男,浙江上虞人,中学一级教师,主要从事课堂有效教学和解题教学研究.近年来,发表论文70余篇,其中有20余篇被人大复印报刊资料全文转载或列为索引.

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