“凤凰方程”性质及其推广的应用

本文现将“凤凰方程”的性质及其推广的应用介绍如下，供初中师生教与学时参考.

凤凰方程（2009年湖南省株州市的一道新定义的中考题）：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若有a+b+c=0，则方程有两个实数根x1=1，x2=c1a.

证明：由题设a+b+c=0，得b=-a-c，代入原方程，得ax2-ax-cx+c=0，所以ax（x-1）-c（x-1）=0，所以（x-1）（ax-c）=0，所以x1=1，x2=c1a.

这一性质还可作如下推广：

已知：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a≠0），如果a+b+c+d=0，那么此方程必有一个实数根x=1.

证明：由题设a+b+c+d=0，得b=-a-c-d，代入原方程得ax3-（a+c+d）x2+cx+d=0，所以ax3-ax2-cx2-dx2+cx+d=0，故ax2（x-1）-cx（x-1）-d（x+1）（x-1）=0，所以（x-1）（ax2-cx-dx-d）=0，故有x=1.

接下来我们就利用上面“凤凰方程”的性质及其推广，来巧解部分初中数学竞赛题.

1“凤凰方程”性质的应用

例1若a>b>c>0，求方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的两个实数根中较大的一个根.（2008年云南省昭通市初中数学竞赛题）

分析本题若利用求根公式求出方程的根是很困难的，然而观察各项系数发现（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，故由“凤凰方程”性质就可马上求出两根分别为x1=1，x2=c-a1a-b，之后再比较，即可以求出较大根.

解因为（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，所以原方程有两实数根，x1=1，x2=c-a1a-b，又a>b>c>0，所以c-a<0，a-b>0，所以c-a1a-b<0<1，所以原方程的较大根为1.

例2已知：3（a-b）+3（b-c）+（c-a）=0（a≠b），求（c-b）（c-a）1（a-b）2的值（2008年山东省泰安市初中数学竞赛题）

分析本题可先令3=x，通过数字换元将已知等式变形为关于x的一元二次方程，再利用“凤凰方程”的性质求得其值.

解将3看作是方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的一个根，因为（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，故由“凤凰方程”性质得方程的一根为1.由韦达定理知3+1=c-b1a-b，3×1=c-a1a-b，所以（a-b）（c-a）1（a-b）2=（3+1）3=3+3.

例3已知：一元二次方程a（b-c）x2+b（c-a）x+c（a-b）=0有两等根，求证：21b=11a+11c.（2008年吉林省吉林市初中数学竞赛题）

分析本题可利用根的判别式等于零来求证，但较复杂.由于a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=0，故由“凤凰方程”性质及韦达定理得，x1=1，x2=c（a-b）1a（b-c），又因为方程有两等根，所以c（a-b）1a（b-c）=1，再加以变形，即可得证.

证明因为方程的各项系数：a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=0，故由“凤凰方程”性质及韦达定理得x1=1，x2=c（a-b）1a（b-c），又由已知方程有两等根，所以c（a-b）1a（b-c）=1，即2ac=bc+ab（1）.由于a≠0，b≠0，c≠0，故将（1）式两边同时除以abc，即得21b=11a+11c.

例4证明对于任何实数k，方程x2-（k+3）x+k+2=0都有实数根.（2010年太原市初中数学竞赛题）

分析本题一般可应用根的判别式性质，证明Δ≥0即可.然而注意到1-k-3+k+2=0，故由“凤凰方程”性质知x1=1，再证明x2为实数就可以了.

证明因为方程各项系数之和为0，故知x1=1，从而方程可分解为：（x-1）（x-k-2）=0，因此，x2=k+2，由于k为实数，所以x2也为实数，因而命题获证.

2“凤凰方程”性质推广的应用

例5如果方程x3-5x2+（4+k）x-k=0的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为（）.

A.3B.4C.5D.6

（2009年全国初中数学联赛四川省初赛题）

分析因为1-5+（4+k）-k=0，故由“凤凰方程”性质的推广可知方程有一个实数根是1，所以方程左边多项式含有一个因式（x-1），为此可利用十字相乘法很容易将左边分解因式.

解 原方程可变形为（x-1）（x2-4x+k）=0.因为原方程的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，故知x=1是方程x2-4x+k=0的根，或x2-4x+k=0有两个相等的根，从而解得k=3或4.

所以当k=3时，方程的三个根为1、1、3，因为1+1<3，故其不可能作为等腰三角形的三边长；

所以当k=4时，方程三个根为1、2、2，而1+2>2，故其可以作为等腰三角形的三边长，因此，k的值为4，选B.

例6已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.（2007年全国初中数学联赛题）

分析观察方程各项的系数会发现，1+a+17+38-a-56=0，故知方程有一个实数根是1.从而，x-1是原方程左边多项式的一个因式.所以可用十字相乘法先将左边分解因式.

解因为1+a+17+38-a-56=0，故知方程有一个实数根是1.从而方程的左边分解因式得（x-1）[x2+（a+18）x+56]=0，因为关于x的方程x2+（a+18）x+56=0 ①的根都是整数，故判别式Δ=（a+18）2-224应该是一个完全平方式，设（a+18）2-224=k2（k∈N+），则（a+18+k）（a+18-k）=224.显然，a+18+k=112，

a+18-k=2或a+18+k=56，

a+18-k=4或a+18+k=28，

a+18-k=8解得a=39，

k=55或a=12，

k=26或a=0，

k=10（舍去）.

当a=39时，方程①的两根分别为-1和-56，此时，原方程的三个根为1、-1和-56，当a=12时，方程①的两根分别为-2和-28，此时，原方程的三个根为1、-2和-28.

“凤凰方程”的性质还可以作进一步的推广，即：如果方程a1xn+a2xn-1+…+an-2x2+an-1x+an=0的a1+a2+…+an-1+an=0，那么此方程必有一个根x=1.证明留给师生们自己研究，这里不再赘述.

综上所述可知：在今后的教学过程中，我们要加强新定义型试题的研究，要重视新定义型试题性质的应用的探索，这既符合新课程改革的理念要求，又有利于启迪学生思维，拓宽视野，提高综合解题水平，对于培养学生的探索精神和创新意识，对于融会贯通“双基”，启迪思维，开阔视野，提高教学质量，均颇有益处.随着教育现代化的不断发展，这类新颖的新定义型试题在2014年中考中，可能还会不断出现，为此笔者建议：加强这类专题研究，很有必要.

作者简介胡锦秀，女，1978年1月出生，江苏泰兴人，中学一级教师.主要从事初中数学教学研究，多篇文章在省级刊物上发表.