一边一对角用圆解

陈盛女

学生在学习数学上的成长主要是通过解题水平来体现的，作为数学老师必须在解题上做好、做足教学的文章.“一边一对角用圆解”，这是一个在研题过程中发现的命题，学生碰到这类问题往往无从下手.尝试运用这一结论，思维明确，解题简捷，现结合实例介绍这一方法的妙用.

引例：过直线外一点作圆的切线.

已知：如图1，点P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线.

这题简约、大方，但思维含量颇高，有一定的难度.提出这一问题时，学生不知怎么分析，切线的判定：经过半径外端并且垂直于半径的直线.经过笔者一再的提醒，学生才知道是这点与圆心连线段所对的角为直角，然后经过慢慢引导，才得出直径所对的圆周角为90°.于是画圆得到交点即为切点.

经过引导这一问题的思考过程，发现学生转到这一结论还真是不容易，在后来的复习过程中，还不断地碰到这一问题，无一例外，学生都不会做，如何教会他们分析呢？不断总结得出结论“一边一对角用圆解”，在学生的思维培养上起到了非常重要的作用.

图1图2例1如图2，已知矩形ABCG （AB< BC ）和矩形CDEF 全等， 点B，C， D 在同一直线上， ∠APE 的顶点P在线段BD 上移动， 使∠ APE为直角的点P 的个数是个.

分析注意到A、E是两个定点，即转化成已知一边和它的对角为90°，只需以它为直径画圆与已知线段的交点即是，简单明了.

解以AE为直径的圆与AD的交点为 P1，P2，点P有两个.

例2在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（11，1），点C 到直线AB 的距离为4，且△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形，则满足条件的点C 有 个.

分析这里涉及到另一个较难知识点，到直线的距离为常数的点形成的图形是两条平行于已知直线且距离等于已知常数的直线.于是画出直线，再画出圆，从图形直观上就可看出交点个数.如图3，共有4个.

图3图4例3如图4，在平面直角坐标系中，点A（-4，0），B（2，0）.若直线l经过点E（4， 0），M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.

分析以A为直角顶点的直角三角形有一个，以B为直角顶点的直角三角形也有一个，则说明以AB为斜边的直角三角形也只有一个，所以AB为直径的圆与直线有且只有一个公共点，即以AB为直径的圆与直线相切.以AB为直径画圆，过E画圆的切线，（画法与引例相同）.

解因为A（-4，0），B（2，0）.所以以AB为直径的圆的圆心C（-1，0）.因为E（4， 0），所以CE=5，因为圆C与直线l相切与M，所以∠CME=90°，CM=3.所以ME=4.作MD⊥CE于D，CE·MD=CM·ME，所以MD=CM·ME1CE=1215，所以CD=CM2-MD2=915，所以OD=415，所以M（415，1215），（415，-1215）.所以可求的直线l：y=-314x+3，y=314x-3.

例4点B是线段AC上的点，且AB=112BC，过点C的直线l与AC成30°角，在直线l上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P有几个.

分析若能画出图形，那就最好说明了.一边一对角，想到用圆解，让∠APB=30°成为圆周角.

解圆周角为30°，则圆心角为60°，所以画等边三角形OAB，以O为圆心，OA为半径画圆与直线l有两交点P1 ，P2，如图5，故点P有两个.

图5图6例5如图6，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（5，3），C（0，3），D（1，3），点P为线段OA上一点，且∠PBD=45°，求点P的坐标.

分析 BD已知，BD的对角也已知，构造以BD为弦，圆周角为45°的圆与OA的交点即找到点P.

解作BD的中垂线，垂足为E，在中垂线上截取EF=ED，以F为圆心，FD为半径画圆交OA与P1，P2.则P1，P2就是所求的点.因为B（5，3），D（1，3），所以BD=4，CE=3，所以EF=ED=2，所以P1F=DF=22，FG=EG-EF=1，又∠FGO=90°，所以P1G=P2G=P1F2-FG2=（22）2-12=7，所以P（3-7，0），（3+7，0）.

例6如图7，二次函数图像经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）. 若M（x，y）是抛物线上的一个动点（

不与A，B重合），当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围.分析与例5相同.AB已知，AB的对角也已知，构造以AB为弦，圆周角为45°的圆与抛物线的交点即找到点P.

图7解AB所对的圆周角为45°，所以所对的圆心角为90°，圆心O1坐标（312，512），半径5122，Rt△O1MD中，由勾股定理得O1D2+MD2=O1M2，所以（x-312）2+（y-512）2=（5122）2.求得二次函数解析式为y=112x2-312x-2，可得（x-312）2=2y+2514，所以2y+2514+（y-512）2=（5122）2.解得y=3或y=0（舍去），所以112x2-312x-2=3，解得x=-2或x=5.所以当∠AMB≤45°时，x≤-2或x≥5.

解决问题的核心是思维活动，如果解完题后，再进行总结反思的活动，从很多题目的解答过程中得到一通式的解法，这也许就是我们从特殊到一般地真正应用，甚至获得数学命题，经过论证，可能就是定理的产生也不一定.这是教学工作中的总结，也是给学生学习数学思考引导方向.