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着眼整体,轻松解题

2013-04-29徐四化

考试周刊 2013年56期
关键词:整体思想运用

徐四化

摘 要: 整体思想是最常用、最基本的数学思想之一,它是研究问题的整体形式、整体结构,并对其进行调节和转化,使其简单化的一种方法.它是数学解题的一种重要策略,是提高解题速度的一种重要途径.

关键词: 整体思想 初中数学解题 运用

数学思想方法是数学的灵魂,指导着数学问题的解决.整体数学思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从整体上认识问题、思考问题,从而对问题进行整体处理的解题方法.在解决数学问题时,我们往往习惯于将问题“化整为零”;但有时候若能仔细观察问题的特点和具体要求,从大处着眼,由整体入手,利用整体思想对问题实施调节与转化,通过整体代入、整体换元、整体变形、整体构造等方式,常常能化繁为简、变难为易,使问题快速获解,提高解题效率.下面我结合实例谈谈整体思想在初中数学解题中的应用.

一、整体代入,化难为易

有些习题,如果孤立地利用条件,则虽可以得到解决,但解题过程比较复杂;如果把已知条件看做一个整体,直接或变形以后代入求解,问题就容易解决多了.

整体构造,就是根据已知条件和所求,整体构造相应的式子,通过对两个式子的联合研究解决问题.有些问题直接去求,无从下手,但通过整体构造,就能迅速得出答案.

例7:已知关于x,y的方程组2x+3y=m (1)3x+5y=1-m (2)的解满足x+y=2(3),求m的值.

分析:一般解法是求出方程组的解(用含m的代数式表示),然后代入x+y=2求出m的值.这样做对于学生来说是较难理解的.通过整体观察,整体变形后整体代入,避免了复杂繁琐的计算,简捷易懂.

解:(1)×2-(2)得x+y=3m-1(4),将(3)代入(4)得3m-1=2,m=1.

例8:甲、乙、丙三种商品,若买甲4件,乙5件,丙2件,共用69元;若买甲5件,乙6件,丙1件,共用84元.问买甲2件,乙3件,丙4件,共需要多少元?

分析:如果想求出甲、乙、丙的单价后再求甲2件,乙3件,丙4件共需要多少元,显然是行不通的,因为条件不够,所以应该将所求问题作为一个整体来考虑.

解:设甲、乙、丙的单价分别为x、y、z,根据题意,得

4x+5y+2z=69 (1)5x+6y+z=84 (2)

(1)×3-(2)×2得2x+3y+4z=39

答:买甲2件,乙3件,丙4件,共需要39元.

五、整体配凑,巧辟捷径

在解题过程中,常会碰到这样的问题,待求的式子不满足解题所需的形式.此时,往往可以应用整体思想按预定的解题方向对式子施行配凑成可应用某个公式或配凑成可利用题設条件,或配凑成要出现结论的式子,或配凑成我们熟悉的题型等,从而达到解决问题的目的.

六、数形结合,相得益彰

数形结合,就是通盘考虑题设条件,构造相应图形帮助解题.一些代数问题仅仅用代数知识解,既繁又难.如果对题设和结论进行综合考虑,构造相应图形帮助解题,问题就能化难为易.

例12:已知五个半径为1的圆的位置如图所示,各圆心的连线构成一个五边形,求阴影部分的面积.分析:由于五边形不具备特殊性,因此各个扇形的圆心角的度数均未知,不能分别求出各个扇形的面积.为此,要求阴影部分的面积就要将几个阴影部分(五个扇形)整体考虑.注意到五边形内角和为720°,所以五个扇形的圆心角的和为720°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积为两个半径为1的圆的面积.

整体思想在初中数学解题中的应用,不仅仅局限于上述几种类型,还涉及其他的各种题型.在平时的教学过程中,我们要指导学生学会从整体上考虑问题,对问题的条件、结论的表达式、结构特征等做深入细致的观察分析,更好地把握整体思想的本质和规律,逐步养成应用整体思想解题的习惯,提高解决数学问题的能力.

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