领悟数学思想?提升解题能力

平金泉

摘 要：人类活动离不开思维发展，而思维的发展程度是整个智力发展的缩影。新课程理念对当前数学教师提出了更高的要求，切实把握新理念，改变传统教学模式，使学生正确运用数学思想，则是开展好数学教学的必要条件。初中数学中蕴含着多种数学思想，其基本数学思想有整体思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。文章通过突出这些基本思想，使学生达到方法的掌握、思想的形成和能力提升的境界，让学生终身受益。

关键词：数学思想；整体思想；方程与函数；数形结合；分类讨论；转化与划归

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。数学思想是数学的精髓，它支撑和统帅着基础知识。数学思想方法的自觉运用往往能使我们运算简捷、推理机敏，这是提高数学解题能力的必由之路。

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生结果，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，它揭示了数学发展中普遍存在的规律，直接支配着数学的实践活动。通过对学生数学思想的培养，其数学解题能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓，作为一名初中数学教师，必须在组织学生学习基础知识的过程中不断地渗透数学思想，让学生在掌握基础知识的同时，领悟到数学思想的真谛，才能使学生的解题能力达到一个质的飞跃。

数学思想是从数学内容中抽象概括出来的，是知识转化为能力的桥梁。初中数学整套教材涉及的数学思想有很多种，例如用字母表示数的思想，这是最基本的数学思想之一。在苏科版七年级（上册）第三章中有一章节题目就叫 “用字母表示数”，主要体现了这种思想，这也是有别于小学的算术方法，使学生迈进了代数领域的大门。这种思想对整个初中乃至高中和以后的学习都产生了深远的影响。

笔者从多年的教学研究和教学实践中，高度概括得出初中数学中的主要数学思想有：①整体思想；②方程与函数思想；③数形结合思想；④分类讨论思想；⑤转化与化归思想；⑥符号思想；⑦类比思想；⑧建模思想，等等。本文就前面的五种数学思想作进一步的探究。

一、整体思想

所谓整体思想是指将有共同特征的某一类问题看成一个完整的整体，通过对其全面深刻的观察，着眼于问题的整体结构，从整体上把握问题的本质内容，从而提出解决问题的方向和策略。

例如，已知，求代数式的值。

分析：本题不能解出x、y的具体数值，所以从分析所求代數式的形式入手，结合已知条件，可以把“x-y”或者“xy”作为一个整体，由已知条件得到x-y=-3xy，代入代数式，替换xy；或者得到，代入代数式替换x-y，都可以解决本题。

在几何图形中，也有考虑图形的整体，用整体思想解决问题。例如，如图1， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=

。

分析：本题也不能具体解出各个角的度数，观察图形可以得出∠1+∠2等于△ADE的一个外角，同理，这六个角的和正好就是△ABC的外角和，从而题目迎刃而解。

整体思想不但在已知条件或已知图形中可以发现，甚至在解题过程中的应用也很广泛。例如，买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需 元。

分析：本题对于一部分学生只能根据已知条件列出两个三元一次方程组，但具体解答就难住了。分析原因，我想对于这部分学生，肯定在想具体解出各种文具的单价，再求和，所以解不出来。而实质上本题的中心思想是就是求三种文具的整体的和，具体解法如下：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，即求x+y+z的整体的和，列出方程组：，②-①×2得到x+y+z=5即可。

二、方程与函数思想

初中函数重点研究一次函数、反比例函数和二次函数的图像与性质，初中方程按“元”分类有一元方程、二元方程、三元方程，按“次”分类有一次方程、二次方程。方程与函数，甚至与不等式相联系，是知识整合提升很重要的内容。方程与函数、不等式是通过研究函数值等于常数、大于常数或小于常数而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。方程与函数思想，既是方程思想与函数思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。

在苏科版九年级下册中，有一节就是研究“二次函数与一元二次方程”的关系，书中专门编排一节内容，体现了这种思想方法的重要性。一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点（x1，0）、（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2，反之亦成立。

例如，已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图2所示，你能否确定关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解？

分析：根据图像可知，二次函数y=-x2+2x+m的部分图像经过点（3，0），把该点代入得到方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0，求根即可。或者根据抛物线的对称轴直线x=1，经过一个交点（3，0），则必经过另一交点（-1，0），所以方程的两个根就是抛物线与x轴两交点的横坐标。

本题就是考查二次函数与一元二次方程的整合，可以延伸为“求不等式-x2+2x+m>0的解集”，这就是和不等式相关联。观察图像在-1

又如，二次函数y=ax2+bx+c的图像如图3所示，且方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A.k<2 B.k=2

C.k>2 D.无法确定

分析：如果根据b2-4ac的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为ax2+bx+c=k，从而理解成是两个函数的交点问题，即由图像可知，只要y=k<2就一定与抛物线有两个不同的交点，所以，答案选A。

三、数形结合思想

数形结合思想是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题方法。所谓数形结合是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题。在数学问题中，数量关系与图形位置关系这两者之間有着紧密而又较隐含的相互关系。在解题时，往往需要揭示它们之间的内在联系，由数→形→问题的解答；或由形→数→问题的解答，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。

例如，已知|x-1|+|2+x|=3，则x的取值范围是 。

分析：本题可采用数形结合思想，理解|x-1|表示数轴上点x到点1的距离，|2+x|=|x-（-2）|表示数轴上点x到点-2的距离。如图4所示，则1和-2两点距离之和为3的点x可以是以1和-2为端点的线段上的任意一点，这样由数轴的“形”就得到“数”x的取值范围。

再如，（2012年四川自贡）伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿原路返回学校。在这一情景中，速度v和时间t的函数图像（不考虑图像端点情况）大致是 （ ）。

分析：根据题意（如图5），纵坐标表示的是速度，而横坐标表示的是时间，根据往返路程相同，回家时慢，速度慢，时间长；返校时快，速度快，时间短，这样就由速度、时间的“数”得到了函数图像的“形”，再次体现了数形的完美结合。

四、分类讨论思想

所谓分类讨论是指在解决数学问题中，根据所研究问题的某种相同性和差异性将它们分类来进行研究的思想方法。分类讨论特点是分类必须周全，既不能重复，也不能遗漏；分类中的每一部分都应是相互独立的；一次分类按一个标准；分类须有一定的范围，不能超范围。

例如，我们在进行概念教学时，就有对实数的分类，可分成有理数和无理数，或分成正实数、负实数和零；对三角形的分类，可按边进行分类，分成不等边三角形和等边三角形，或按角分类可分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。在数学概念教学时进行分类，可以降低学习难度，增强学习的针对性，帮助学生理清数学脉络，有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。

在历年的数学中考中，分类讨论思想都有广泛的应用，是解题中一种常用的思想方法。例如，已知函数y=mx2-4x+6的图像与x轴只有一个交点，则m的值为多少？

分析：本题中应该分两类，①若m=0，则该函数为一次函数，与x轴只有一个交点，符合题意；②若m≠0，则该函数为二次函数，应计算△=0的情况，从而解出m=，所以本题的答案应该是m=0或m=。在这里很多学生往往会忽略一次函数的情形，说明他们思维比较定式，应重点分析题意。

再如，三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是多少？

分析：解方程得出x1=2，x2=4，考虑到能否组成三角形，所以很多同学只写了周长等于10，而这里却忽略了等边三角形的情形，正确的答案应该是周长为6、10或12。

因此，不管在讲解概念，还是在解题过程中，都应该重点给学生分析如何审题、如何分类，使学生的知识形成一个系统，完整地考虑问题，从而解决问题。

五、转化与化归思想

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想，而化归思想是把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，变换成较易解决的问题，以求得解。

在数学中，知识点之间的联系是十分紧密的，新知识往往是旧知识的引伸和扩展。让学生面对新知会用转化或化归思想去思考问题，让学生在操作时化未知为已知，这对学生独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助的。如分式的基本性质就可以通过复习分数的基本性质引入，再如在数学解题中，几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等。

如已知x+y=7，xy=12，则x

再如，如图6所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是

。

分析：本题的解决方法就可以通过转化来实现。只要平移一条腰，利用平行四边形的性质，把正方形的边长关系转化在一个直角三角形中考虑，再利用勾股定理，得出直角三角形的三边关系，从而得出S1+S3=S2.

又如，大于1的正整数m的三次幂可

“分裂”成若干个连续奇数的和，如：

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19…若m3“分裂”后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（ ）

A.43 B.44 C.45 D.46

分析：本题可以通过化归的思想，找出规律，即可解答。∵23=3+5，33=

7+9+11，43=13+15+17+19…∴m3分裂后的第一个数是m（m-1）+1，共有m个奇数。∵45×（45-1）+1=1981，

46×（46-1）+1=2071，∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴m=45。

在实际教学和解题过程中，若遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，抓住问题的实质，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化，通过一定的策略和手段，把隐含的数量关系转化为明显的数量关系，把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息关系，这就是转化与化归的实质。已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。

数学思想远不止以上几种，还有数学建模思想、符号思想、类比思想、假设思想、整分思想、公理化思想，等等。数学思想是对数学规律的理性认识，只有真正领悟数学思想，才能形成一定的数学解题方法，提高学生的解题能力，这也是数学课程的一个重要的目的。我们应在数学教学的每一个环节中重视渗透数学思想，总结数学方法，使数学知识和数学思想、数学方法相结合，使学生以积极创新的思想方法汲取知识，进一步提高分析问题和解决问题的能力。才能使学生受益终身。