中学数学中某些思想方法的教学研究

黄建坝

摘 要： 数学思想方法是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓，中学数学中处处蕴涵数学思想方法.作者结合自身的教学实际从三个方面论述函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化（化归）思想等中学常用的数学思想方法的教学.

关键词： 中学数学教学教学 数学思想方法 教学方法

一、全面认识数学思想方法

数学思想方法包括数学思想和数学方法两个方面.所谓数学思想是指“从某些具体的数学认识过程中提升的观点，是对数学概念、方法和理论的本质认识.”所谓数学方法是指人们在数学活动中为达到预期目的而采取的各种手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.方法是实现思想的手段，任何方法的实施，无不体现某种或多种数学思想；而数学思想往往是通过数学方法的实施才得以体现的，它们在一定范围内有通用性（如：“消元”既是方法又是思想），二者关系密切，有时不易区分，人们常把数学思想与数学方法合为一体，称之为“数学思想方法”.

二、中学数学中某些思想方法的教学

1.函数和方程思想.

（1）函数描述了客观世界中相互关联的量之间的依存关系，是对问题本身的数量特征及制约关系的一种刻画.因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象之间的数量关系，并用映射给予严格的形式，它几乎成为贯穿中学数学的一条主线.中学的函数思想，应包括建立函数模型解决问题的意识、函数概念和性质的广泛运用、函数图像的应用.

例1：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试算5期后的本利和是多少？

在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用下面的公式y=N（1+p）■表示.解决平均增长率的问题，要用到这个函数式.

培养学生函数思想，会用变量和函数思考数学问题，学会建立函数模型解决问题的意识，前提是应该理解函数的概念，将概念通俗化，就是两个变量之间的变化关系，反应到坐标系中就是y对x的关系，在此基础上通过简单实例学习归纳出中学数学中常见的几种基本函数的解析式，牢固掌握它们的图像和性质后将其应用于实际问题中.

（2）方程的内容在中学阶段也同样经历了由浅入深的历程.其中最重要的变化是从具有确定解的方程，发展到解连续变化的方程；从注重解的数值特征，转向方程的几何意义，另外还有方程与多方面因素的相互联系.方程的思想是在这样的过程中逐步培养起来的.其中当然包含通过设立未知量建立相等关系，即把未知看做已知的意识，还有如何用方程（方程组）的知识解决问题，等等.

在等差与等比数列中，常常需要研究之间的关系，我们可以以方程思想为指导，寻找求知数个数与方程个数间的关系，根据题意逐个列出方程，等等，都要用到方程思想方法，根据题意列出所需要的方程.

2.分类讨论的思想.

所谓分类思想，就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法.例如“直线在平面外”常要分为线面平行，线面相交讨论；qn的极限需要按q所取值的范围讨论；三角函数值的正负要按角所在象限讨论，等等.根据分类思想，人们把这些对象全体组成的集合划分成若干个子集（类），使得具有共性的对象属于同一个子集，而不具有这种共性的对象属于别的子集.分类是以比较为基础，将研究对象进行比较整理.同样一些东西构成的集合可依不同法则（标准）分类.如：三角形按角分类，也可按边分类，解决实际问题时，根据实际情况确定分类方法.

在教学中要注意分析分类的原因、时机与分类的标准、方法，此例是类中有类，正是因绝对值概念引起分类讨论再而由二次函数对称轴的变化即图形位置的不定引起分类讨论，（二次函数的单调性与对称轴的变化关系或开口与二次项次数的符号的关系），引发讨论的原因还有很多，如指数、对数函数的底数对函数性质的影响，圆锥曲线方程中，分母的符号、大小对曲线类型，曲线位置不同的影响，排列、组合中经常遇到的分类问题等，要能准确分类，必须加强基础知识的教学，在平时各相关知识点的教学中，在知识的形成过程中，让学生明确分类的意义与必要性，重复出现，逐渐强化.分类讨论的方法在数学中占有重要地位，通过分类，可以化整为零，各个击破，变一般为特殊，变模糊为清晰，变抽象为具体.

3.数形结合的思想.

所谓数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的方法的一种数学思想方法.数学是研究现实世界空间形式和数量的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的.数以形而直观，形以数而入微.在数学教学中，运用联想的思维，以数构形，以形思数，渗透并强化数形结合的思想方法，使抽象的问题变得直观、易理解，同时有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维的形象性和广阔性.中学数学教材中处处蕴涵数形结合的思想.

数形结合的解题思想方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各章节界线，有较强的综合性，不等式、方程、函数之间，方程与二次曲线之间，三角方程与三角曲线之间，不等式与线性规划之间都有着密切联系等，平时教学必须加强这方面的训练，让学生学会以数构形，以形思数，反过来进一步巩固数学知识，打好基础，提高能力.

4.转化（化归）的思想方法.

所谓转化（化归）的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题.它是数学中基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中常用的基本思想方法.数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段.

高考中十分重视对化归与转化思想的考查，要求考生熟悉各种化归与转化的变换方法，并有意识地运用变换方法解决有关的数学问题.化归需明确三个问题：（1）明确化归对象；（2）明确化归的目标；（3）明确化归的方法.

以上化归方法在求函数最值问题时经常用到，如三角函数最值问题常常要转化为一些我们所熟知的函数（如二次函数）最值问题等.教师在平时的教学中应有意识地结合例题让学生体会转化方法，转化思想，尽可能在做完题后认真反思，从中提炼方法.学生学会转化的关键是必须具备扎实的基础知识和基本理论，并且能对课程内容融会贯通，系统掌握课程内容的内在联系.教师必须注重各章节知识交汇处的教学，加强知识间的横向联系.

三、如何在数学教学中渗透数学思想方法

数学思想方法教学所采用的主要方法是渗透，所谓渗透，就是有机地结合数学知识的教学，反复向学生讲解，通过逐步积累，让学生对数学思想方法的认识由浅入深，由表及里，渐进地达到一定的认识高度，从而自觉地运用之.

1.钻研教材，充分挖掘教材中蕴涵的数学思想方法.

数学定义、法则、公式、定理等知识都明显地写在教材中，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，并且分散于各册教材的各章节中.我们在备课时要认真钻研教材，充分发掘提炼在教材中的数学思想和方法，并弄清每一章节主要体现了哪些数学思想，运用了什么数学方法，研究大纲，吃透教材，揣摩教材编写的意图，挖掘教材中蕴涵的数学思想方法.例如通过实数、整式概念的教学，可以渗透分类的思想.

2.把掌握数学思想方法纳入教学目标.

数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领.而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，更主要地依赖于对数学思想方法的掌握和发挥.把要渗透的思想方法精心设计到教案中，在备课时要考虑如何结合教材内容进行数学思想方法渗透，渗透什么数学思想方法，渗透到什么程度，例如一般三角形通过作高可以转化为直角三角形，再利用勾股定理和三角函数和知识易求解，这当中渗透了由一般到特殊转化的思想方法；求二元一次方程组的解，可以转化为两个一次函数的图像的交点问题，这样抽象的问题就转化为直观形象的问题，当中渗透了数形结合的思想和转化的思想；教师只有这样把握教材的思想体系，才能在教学中不失时机地渗透数学思想方法.

3.反复再现，逐渐强化.

数学思想方法不可能经历一次就能正确认识并迁移，需要在长期的教学中，不断地再现，反复地引导与强化，才有可能使学生达到掌握的程度.首先是从模仿开始的.学生按照例题示范的格式解答与例题相同类型的习题，实际上是数学思想方法的机械运用.此时，并不能肯定学生领会了所用的数学思想方法，只有当学生将它用于新的情境、已经解决其他有关问题时，才能肯定学生对这一数学本质、数学规律有了深刻的认识.

数学思想方法是培养数学能力与数学人才的需要，因为数学教育的根本目的在于培养数学能力，而这种能力不仅表现在对数学知识的记忆，更主要地依赖于对数学思想方法的掌握和发挥.它使学生学会用数学的思想思考和解决问题，把知识的学习和培养能力、发展智力有机地联系起来.所以加强数学思想方法的教学，不仅关系到人的数学素养的培养和提高，而且关系到人的素质的培养和提高.数学教师要更新观念，重视数学思想方法的教学，深入钻研教材，努力挖掘教材中所蕴涵的思想方法.

参考文献：

[1]吴炯圻，林培榕.数学思想方法[M].厦门：厦门大学出版社，2001.6.

[2]毛永聪.中学数学创新教法[M].北京：学苑出版社，1999.6.