试论高三数学恒成立问题的解法
2013-04-29阿依夏木古丽·夏尔皮
阿依夏木古丽·夏尔皮
【摘 要】高三数学中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
【关键词】高三数学；恒成立；解题过程
一、一次函数型
给定一次函数y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）或ⅱ）可合并定成
同理，若在[m，n]内恒有f（x）<0，则有
例1：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及P，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
解略
二、二次函数型
若二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，则有
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2：设f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f（x）≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞）时恒大于0的问题。
解：设F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ）当Δ=4（a-1）（a+2）<0时，即-2 ⅱ）当Δ=4（a-1）（a+2）≥0时由图可得以下充要条件： 即得-3≤a≤-2； 综合可得a的取值范围为[-3，1]。 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例3：已知当x∈R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5 要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值问题。 f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3， ∴-a+5>3即>a+2 上式等价于 或 解得a<8. 注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx换元成t，则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 另解：a+cos2x<5-4sinx+即 a+1-2sin2x<5-4sinx+，令sinx=t，则t∈[-1，1]， 整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。 设f（t）= 2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1， ∴f（x）在[-1，1]内单调递减。 ∴只需f（1）>0，即>a-2.（下同） 四、根据函数的奇偶性、周期性等性质 若函数f（x）是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x ，f（-x）=-f（x） （f（-x）=f（x））恒成立；若函数y=f（x）的周期为T，则对一切定义域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。 例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）为偶函数，求α的值。 分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。 解：由题得：f（-x）=f（x）对一切x∈R恒成立， ∴sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α） 即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α） 2sinx·cosα=-2sinx·sinα ∴sinx（sinα+cosα）=0 ∵对一切x∈R恒成立，∴只需也必须sinα+cosα=0。 ∴α=k.（k∈Z） 五、直接根据图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例5：当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2 分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 解：设y1=（x-1）2，y2=logax，则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x∈（1，2），y1 故loga2>1，a>1，∴1
