拆图法在解题中的应用

田佩锋

摘 要：拆图法即将图形整体分解为部分，把复杂的图形分解为简单的图形，分清条件与结论，找出条件与结论之间的关系，以基本图形为基础，完成对题目的解答。实践证明：拆图法在几何解题中非常有用，它是解决几何问题的一种有效方法。在实际解题过程中，应根据构成基本图形的要素识别几何图形；用“等价拆图法”識别几何图形；构造定理所需的图形或基本图形，从而拆出我们所需要的基本图形；立足基本图形，环环利用，最后破解。

关键词：拆图法；几何解题；基本图形；几何图形

象棋残局，布局很重要，而关键的棋子，则是我们布局的基本点，找到其基本点，棋局也就破解了。在全面倡导素质教育的今天，初中几何在提高学生的基本技能、培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力等方面都有着非常重要的作用。

当我们在使用拆图法解几何题时，以个人经验和其他优秀教师的做法，结合个别例题，总结为以下几点：

一、根据构成基本图形的要素识别几何图形

用“简化法”识别几何图形，“简化”就是排除次要的部分，把复杂图形中与需要识别的图形无关的部分略去不考虑，使隐藏于其中的基本图形显现出来。

例1.找出图1（1）中∠HAG的同位角。

分析：此图较复杂，若依据构成同位角的要素逐角审核，审核量大，且因角多，互相干扰，易出差错。但若依据构成同位角的要素简化次要的部分，把含∠HAG的符合同位角定义的基本图形剥离出来后再辨认，则简易、可靠得多。

构成同位角的要素：（1）由两条直线被第三条直线所截而形成。（2）不共顶点。可知∠HAG的同位角必须是其他直线与直线BG或HD交于非A点才能产生。因此，KC、AF、AE为干扰因素，可除去。于是得到图1（2）。（3）在两条被截直线的同一方。（4）在截线的同一侧。又可除去干扰因素HK、CD、BC、KG、GE，得图1（3）。这是构成同位角的基本图形，∠HAG的同位角已一目了然了。

二、根据构成基本图形的要素，用“等价拆图法”识别几何图形

“等价拆图”就是按照合理的拆图规则，把一个复杂的几何图形拆成若干个不重复也无遗漏的能完全反映原图的基本图形，从而把对复杂图形的识别转化为简单的基本图形的识别。

例2.找出图2（1）所有的同位角、内错角和同旁内角。

分析：此图中的同位角、内错角和同旁内角数量很多，且互相交织，关系复杂，辨别起来十分困难，尤其难于找全。

根据构成同位角、内错角和同旁内角所共有的第1、2条要素，由两条直线被第三条直线所截而形成，不共顶点。可以确定“以图中每一条直线依次担当一次截线，不过这条直线上同一点的其他直线每次两条不重复轮换与之相交”的拆图方法。照此方法，可把这个复杂的几何图形拆成一系列不重复也无遗漏的与原图等价的基本图形。例如，以AD为截线时，可拆得图2（2）与图2（3）两个基本图形（下略）。拆出全部的基本图形后，由这些基本图形找出所有的同位角、内错角和同旁内角就不难了。

三、构造定理所需的图形或基本图形，从而拆出我们所需要的基本图形

在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。中考对学生添线的要求不是很高，只需连接两点或作垂直、平行，并且添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形，如，本例第一个证明就是利用角平分线上的点到角两边距离相等这一定理（如图甲）；再如，上海市2002年压轴题的第①题构造图形也是利用这一定理。

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的角平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D。①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比（见题图）。

四、立足基本图形，环环利用，最后破解

例4.如下图：将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是多少？

A.18 B.12

C.16 D.15

这样我们就知道了图中各个小三角形的面积，加起来就得到了大三角形的面积。

实践证明：拆图法在几何解题中非常有用，它是解决几何问题的一种有效方法。关注其基本图形，熟知其基本知识点，方能在拆的过程中越拆越明了，越拆越方便、实用。

（作者单位 浙江省青田县方山乡中心校）