浅谈配方法的应用

何明辉

配方法是中学数学中的一种重要工具。它除了在课本中用于推导一元一次方程的求根公式和抛物线的顶点坐标公式外，在数学中的其他方面都有广泛的应用，现略举例如下：

一、解方程

例1.解方程：x2+2mx-n2=0

解：移项，得x2+2mx=n2

配方，得x2+2mx+m2=n2+m2

即（x+m）2=n2+m2

∴x1=-m+■，x2=-m-■

设计意图：将含有未知数的项移到左边，常数项移到右边，进行配方，配方时两边加上一次项系数一半的平方。

例2.在实数范围内解方程：2（■+■+■）=x+y+z

解：将原方程变形得：（x-2■+1）+（y-1-2■+1）+（z-2-

2■+1）=0

即（■-1）+（■-1）+（■-1）=0

由非负数和的性质：■-1=0，■-1=0，■-1=0解得：x=2，y=2，z=3

经检验x=1，y=2，z=3是原方程的解。

设计意图：配方法常与非负数的性质结合起来使用，若a，b，c为常数，由配方得a2+b2+c2=0则a=b=c=0，从而求出问题的解。

二、求代数式的值

例1.已知a2-4a+b2-■+■=0，求a2-4■的值。

解：将原式进行配方，得：（a2-4a+4）+（b2-■+■）=0

∴（a-2）2+（b-■）2=0

∴a-2=0，且b-■=0即a=2，b=■

∴a2-4■=22-4■=2

设计意图：通过配方，利用非负数和为0的性质，进而求出问题的解。

例2.已知■=a（a≠0），求■的值。

解：∵■=a

∴■=■，即x+■+1=■

∴x+■=■-1

∴■=x2+■+1=（x+■）2-1=（■-1）2-1=■

故■=■

设计意图：本例综合运用了倒数法和配方法，从而使问题简化。

三、分解因式

例：分解因式a4+4。

解：原式=a4+4a2+4-4a2=（a2+2）2-（2a）2=（a2+2a+2）（a2-2a+2）

设计意图：由配方法知a4+4中差一项，而这个项正好是某式的平方，从而将原式配方后再利用平方差公式，进而可进行因式分解。

四、恒等变形

例1.用配方法证明：-10x2+7x-4的值恒小于0。

证明：-10x2+7x-4=-10（x2-■x）-4=-10[（x-■）2-■]-4=

-10（-■）2-■

∵-10（-■）2≤0

故-10（-■）2-■<0

即-10x2+7x-4的值恒小于0。

设计意图：证明一个代数式的值大于0或小于0，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明。

例2：△ABC中，三边BC=a，AC=b，AB=c，且满足a4+b4+■c4=a2c2+b2c2，试判定△ABC的形状。

解：由a4+b4+■c4=a2c2+b2c2得

（a2-■c2）2+（b2-■c2）2=0

∴a2-■c2=0且b2-■c2=0

即a=b且a2+b2=c2

所以△ABC为等腰直角三角形。

设计意图：本例综合利用配方法和非负数的性质确定a，b，c之间的关系，从而判定三角形的形状。

五、求最值

例1.已知x是实数，求代数式x2-4x+5的最小值。

解：x2-4x+5=（x-2）2+1

因为x是实数，所以（x-2）2≥0，所以当x-2=0，即x=2时，代数式x2-4x+4有最小值为0。所以x2-4x+5的最小值为1。

设计意图：由配方法配出完全平方式，知其是非负数，从而得出结果。

例2.求y=x+■+2012（x<0）的最大值。

解：y=-（-x-■）+2012=-（■-■）2+2010

所以当■-■=0即x=-1时，y有最大值，最大值是2010。

设计意图：这里根据分式函数y的结构特征，将含x的式子x+■进行整体配方，[不能配成-（■+■）2+2014的形式]則y可以看成关于y的二次函数，根据图象特点，求出最大值。

参考文献：

[1]韩生祥.科学编题培养学生的创新能力.初中数学教与学，2008（6）.

[2]王爱琴.合作交流是学习数学的重要方式.魅力中国，2011（21）.

（作者单位 湖北省十堰市房县万峪中学）