浅谈初中阶段的因式分解

魏宏

摘 要：对初中阶段的因式分解中学生易错的类型进行了归纳总结，剖析了学生是错的地方和原因，从而也剖析了因式分解的难点之处，并通过典型例题介绍了多种方法、技巧，从而帮助学生彻底掌握因式分解，形成方法的系统化、知识的网络化，提高了学生的解题能力。

关键词：因式分解；概念；错误；方法；步骤；注意

我们知道，多项式的因式分解是初等代数的重要内容之一，它是学好代数的钥匙。那么，什么叫因式分解呢？把一个多项式化为几个整式的积的形式，就叫做多项式的因式分解。而我们的学生经常把因式分解和整式乘法混淆起来。下面我就从学生对因式分解的“误区”和正确因式分解的几种方法、步骤来谈一下我对因式分解的理解。

一、易犯错误

可能受小学数学的影响，不少学生在学习数学时，只追求解题，以为只要会计算，会解题才是学数学的“真本領”。再则数学学科的概念本身就抽象，所以他们认为，这么枯燥无味的数学概念学与不学是一个样，没有什么关系的。有了这种想法，致使他们在解题时往往容易出错，因为他们不了解数学概念是解题的基础，是数学推理的依据。如果没有掌握概念而去解题，就如不拿钥匙去开锁一样，只会胡搬乱套，结果导致错误百出。

◆错误之一：只进行了部分分解，结果没有化成积的形式

例1-1：因式分解：a2-2ab+b2-1

错解：原式=（a-b）2-1

分析：错解的根本是在只把原式的部分进行了分解成积的形式，没有将原整式化成积的形式。

◆错误之二：分解结果不彻底，还有因式可以分解

例1-2：因式分解：（x2+2）2-（2x+1）2

错解：原式=（x2+2+2x+1）（x2+2-2x-1）

=（x2+2x+3）（x2-2x+1）

分析：上面的第二个因式（x2-2x+1）还可以因式分解为（x-1）2，至使分解不彻底。

◆错误之三：分解时因没有看范围而出错

例1-3：在实数范围内因式分解：a4-4

错解：原式=（a2+2）（a2-2）

分析：因题目要求是在实数范围内进行因式分解，因此对第二个因式还可以继续再分解（a+■）（a-■）。

◆错误之四：分解时变形不恒等，与方程的变形混淆

例1-4：因式分解：■x2-xy+■y2

错解：原式=x2-2xy+y2

=（x-y）2

分析：在因式分解时，将恒等式的变形与方程的变形混在一起，错误地将分数系数转化为整系数，从而破坏了因式分解的恒等变形这个原则。

学生正确理解因式分解的概念，是学好因式分解的前提，如果对以上的四个经典“易错题”能掌握，那么在解因式分解的习题时就能举一反三，融会贯通。当然，理解了因式分解的概念以后，我们也一定要掌握因式分解的方法和步骤。

二、因式分解的方法

我们所做的因式分解的基本方法，一般有四种，即提取公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。它们既是四种方法也是我们分解因式的顺序与步骤。但是，其实方法不止这几种。现将我所做的几种方法归纳如下：

1.提取公因式

我们把多项式中每一项都含有的相同因式，称之为公因式。公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。把公因式提取出来，叫做提取公因式。用提取公因式法分解因式的关键是正确求出公因式。公因式通常有这样两种情况：（1）公因式是单项式；（2）公因式是多项式。其中，单项式分次数为数字和字母两种情况；多项式又分为相同项和可化为相同项的公因项。当公因式是单项式时，比较容易求得，如果是多项式时，要注意符号，并充分利用偶次幂、奇次幂的性质：即（b-a）2n=（a-b）2n，（b-a）2n+1=-（a-b）2n+1（n为正整数）。

例2-1：分解因式（a-b）2x+1-（a-c）（a-b）2x+2（b-a）2x（b-c）

解：原式=（a-b）2x+1-（a-c）（a-b）2x+2（b-a）2x（b-c）

=（a-b）2x[（a-b）-（a-c）+（b-c）]

=（a-b）2x（a-b-a+c+2b-2c）

=（a-b）2x（b-c）

在这里易错的是公因式难找，有些是整体思想在内，学生容易混淆。

2.运用公式

因式分解中的公式法可谓是灵活多变，技巧性非常强。往往一道因式分解不止用一个公式。做此类题必须理清因式分解的多项式本身的特殊性。

常见的公式：

（1）a2-b2=（a-b）（a+b）

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2

（3）a3±b3=（a±b）（a2±ab+b2）

灵活复杂一点的公式：

（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2

（2）a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3

（3）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）

当a+b+c=0时，a3+b3+c3=3abc

利用公式法进行因式分解时，必须紧扣公式特点，结合给出的多项式，全面考虑，选择合适的公式。

例2-2：（a+2b+c）3-（a+b）3-（b+c）3

解：原式=（a+2b+c）3+（-a-b）3+（-b-c）3

又∵（a+2b+c）+（-a-b）+（-b-c）=0

∴原式=3（a+2b+c）（-a-b）（-b-c）

=3（a+2b+c）（a+b）（b+c）

提取完公因式以后，要看式子本身的特殊性，如果是两项的就 考虑用平方差或立方和、立方差公式；如果是三项的就考虑用完全平方公式。

3.十字相乘

十字相乘主要是针对不能用完全平方公式的二次三项式的，也就是多项式具备的特征往往是含三项。对于二次项系数为1的二次三项式分解时，形如：x2+px+q=（x+a）（x+b），其中p=a+b，q=ab。另外通过解题我们还可以发现，在x2+px+q=（x+a）（x+b）中，当q>0时，a、b两数同号。若p>0，则a、b同正；若p<0，则a、b同负。当q<0时，a、b两数异号。若p>0，则a、b中正数的绝对值较大；若p<0，则a、b中负数的绝对值较大。对于二次项系数不为1的二次三项式因式分解，其形式一般为：abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）符号讨论情况较复杂，这里就不再展开。但无论二次项系数为1还是不为1，十字相乘法对于二次三项式的因式分解是十分简单而实用的方法。

例2-3：分解因式：x2+2（x+1）2+3（x2+x）

解：原式=x2+3x（x+1）+2（x+1）2

=（x+2x+2）（2x+1）

=（3x+2）（2x+1）

4.分组分解

如果一个多项式有四项或四项以上，且无公因式可提，一般应考虑分组分解法。分组分解的目的是为了提取公因式、应用公因式等。主要是为其他方法创造条件，以便达到分解因式的目的。分组分解法分组后应遵循三条原则：①组与组之间应有公因式可提；②组与组之间构成因式分解公式；③组与组之间可构成二次三项式的因式分解。分组过程中至于分多少组，每组有几项都无关紧要，关键的是分组后能否继续分解。不能分解的分组是合理的分组，必须重新分组。

例2-4：分解因式：4xy+x2-1+4y2

解：原式=（4xy+x2+4y2）-1

=（x+2y+1）（x+2y-1）

5.拆项和添项

在分解因式时，常要对多项式进行适当的变形，使其能分组分解。添项和拆项是两种重要的变形技巧。所谓添项，就是在要分解的多项式中加上仅仅符号相反的两项的和（实际上是加上0，并不改变原多项式的值），如把a4+4添上4a2+（-4a），得到a4+4=（a4+4a2+4）-4a2=（a2+2）2-（2a）2，从而可以将原多项式分解因式。拆项是把多项式中某一项拆成两项或多项的代数和（相当于整式加法中合并同类项的逆运算），再通过适当分组，达到分解因式的目的。

例2-5：分解因式x4+4x+3

解：原式=x4-1+1+4x+3

=（x2+1）（x+1）（x-1）+4（x+1）

=（x+1）（x3-x2+x-1+4）

=（x+1）（x3-x2+x+3）

=（x+1）（x3-x2-2x2-2x+3x+3）

=（x+1）[x2（x+1）-2x（x+1）+3（x+1）]

=（x+1）2（x2-2x+3）

6.换元法

有些复杂的多项式，如果把其中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元）不仅使原式得到简化，而且能使式子的特点更加明显，这样先进行换元，再将含“新字母”的多项式分解因式，最后将“新字母”用原换的式子代回去，得到原多项式的因式分解结果。这种方法就是因式分解中的换元法，或者说是换元法在因式分解中的应用。

例2-6：（a+b）3+2ab（1-a-b）-1

解：原式=（a+b）3+2ab[1-（a+b）]-1

令a+b=x ab=y

则原式=x3+2y·（1-x）-1

=x3+2y-2xy-1

=（x3-1）-2y（x-1）

=（x-1）（x2+x+1-2y）

=（a+b-1）[（a+b）2+（a+b）+1-2ab]

=（a+b-1）（a2+b2+a+b+1）

7.待定系数法

有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式。如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积。于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法。

用待定系数法分解因式时需要利用恒等式的如下重要性质：

如果anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0≡bnxn+bn-1xn-1+…+b1x+b0，那么，an=bn，an-1=bn-1，…a1=b1，a0=b0，即恒等式同次项的对应系数一定相等。这里，“≡”表示“恒等于”，即对于任何x的值，等式左边的值都等于右边的值。

例2-7：分解因式6x2+xy-2y2+2x-8y-8

分析：要分解的式子是二元二次多项式，且二次项

6x2+xy-2y2=（3x+2y）（2x-y），从而可断定原式分解的结果形式为（3x+2y+a）（2x-y+b），于是可用待定系数发分解。

解：设原式=（3x+2y+a）（2x-y+b），将右边展开得6x2+xy-2y2+2x-8y-8=6x2+xy-2y2+（2a+3b）x+（-a+2b）y+ab，由恒等式的性质，比较两边的系数，得到

2a+3b=2 ①

-a+2b=-8 ②

ab=-8 ③

由①②可解得a=4，b=-2。將a=4，b=-2代入③，③也成立。

所以原式=（3x+2y+4）（2x-y-2）。

8.利用因式定理分解

因式定理：如果x=a时，多项式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值为0，那么x-a是该多项式的一个因式。

对于系数全部是整数的多项式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，如果x=■（p，q是互质的整数）时，该多项式的值为0，也就是x-■是该多项式的一个因式时，一定有p是an的约数，q是a0的约数。

对于an=1的特殊系数多项式（即系数全部是整数的多项式），如果x-q是它的一个因式，那么，q一定是常数项的约数。

有了上述定理，我们可以通过分解整系数多项式的最高次项系数和最低次项系数的因数，组成一些分数，并逐个试验，找出整系数多项式的一个或几个因式，然后再用多项式除以多项式的办法逐步分解。

例2-8：分解因式：x4+2x3-9x2-2x+8

分析：本题可以用拆项分组或待定系数法分解，也可利用因式定理分解。因为首项系数为1，常数项为8，8的约数有±1，±2，±3，±4，所以，如果原多项式有因式x-a，那么a的可能取值在这8个数中，通过逐个代入检验，即可找出使原多项式值为0的因数。

解：因为8的约数有±1，±2，±3，±4，逐个代入原多项式求值，解得x=1，-1，2，-4时，原多项式的值都为零。这说明x-1，x+1，

x-2，x+4都是原多项式的因式。

又由于原多项式的次数是4，最高次项的系数是1，所以，原式=（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）

说明：如果一元多项式中各项的系数和为0，那么，x-1是这个多项式的因式；如果一元多项式中所有奇次项系数的和等于所以偶次项系数的和，那么，x+1是这个多项式的因式。本题可由这个结论求得原式有因式（x-1）（x+1）。

例2-9：分解因式：7x4+20x3+11x2+40x-6

解：因为原式中最高次项的系数为7，它的约数有±1，±7；常数项为-6，它的约数有±1，±2，±3，±6。如果x-■是多项式的因式，那么，■的值只可能是±1、±2、±3、±6、±■、±■、±■、±■。

将上述各可能值代入原多项式的x，可得x=-3和x=■时，原多项式的值为0。由因式定理知（x+3）（x-■）是原多项式的因式，从而（x+3）（7x-1）也是原多项式的因式。

下面用多项式除以多项式的办法求出其余的因式。

因为（x+3）（7x-1）=7x2+20x-3，由：

■

所以，原式=（x+3）（7x-1）（x2+2）。

说明：在试验出x+3是原多项式的因式时，即可用原多项式除以x+3，得出商式后再分解。

三、因式分解的一般步骤

1.如果多项式的各项有公因式的，那么，先提公因式；

2.如果各项没有公因式的，那么，可以尝试运用公式、十字相乘来分解；

3.如果用上述方法都不能分解，那么，可以尝试用分组分解、拆项和添项的方法来分解；

4.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。”

四、注意点

因式分解中的四个注意点，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

由此可见，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的基本方法中，与因式分解的步骤的四句话“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等式一脉相承的。

（作者單位 江苏省常熟市莫城中学）