《数学通报》2087数学问题的简解、推广、应用及反思

陈国春

江苏滨海中学 224500

摘 要：《数学通报》2012年11月号上的问题解答栏第2087题为：椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心，且过长轴顶点的圆. 该题提供的方法从方程解交点的角度求出了射影的轨迹方程，但相对比较烦琐. 本文将从圆锥曲线切线的性质出发给出一种简便证法，并对结论和研究方法予以推广和反思.

关键词：椭圆切线；对称；轨迹；推广；反思

问题简解

问题再现：椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心，且过长轴顶点的圆. 《数学通报》问题解答栏给出的解答相对比较烦琐，笔者简证如下.

结论推广

下面将此结论推广到双曲线和抛物线.

推广1：双曲线的焦点在双曲线的切线上的射影的轨迹是以双曲线的中心为圆心，且过长轴顶点的圆.

证明方法与上述方法类似，只需运用双曲线切线的性质即可，证明略.

推广2：抛物线的焦点在抛物线的切线上的射影的轨迹是抛物线顶点处的切线.

证明：如图2，设点P（x0，y0）为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，F为焦点，点P处的切线为l，作F关于l的对称点F′.

设H为FF′与l的交点，则由抛物线切线的性质可知PF′∥x轴，PF′=PF，且H点为焦点F在切线上的射影.

由抛物线的定义可知F′的轨迹方程为x=-，易得H点的轨迹方程为x=0.

方法推广

本文所涉及的证明方法都是充分地利用圆锥曲线切线的性质，再巧妙地利用坐标转移法从而使证明变得简洁. 而这种方法也值得推广应用，下面举例说明.

例1 已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，点P处的切线为l，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点. 若点M满足F1M∥l，且·=0，求

的取值范围.

解：如图3，过点F1作∠F1PF2角平分线的垂线F1M，M为垂足，由题及切线的性质可知点M即为满足题意的点. 延长F1M交PF2于F1′，易得

例2 （2013年连云港一调研）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：易得椭圆方程为+y2=1. 对于第（2）问，命题组给出的答案很烦琐，下面利用本文的结论给出简解如下.

如图5，分别作焦点F1，F2在切线l上的射影G，H，由本文结论可知G，H均在圆O：x2+y2=2上，且F1G∥F2H.

再如图6，延长GF1交圆O于H1，由对称性易得F1H1=F2H. 从而结合相交弦定理可知：F1G·F2H=F1G·F1H1=BF1·F1C=（-1）（+1）=1，从而焦点F1，F2即为满足题意的两点.

反思探究

事实上，本文所涉及的内容都可以从圆的圆心与切线之间的关系经过类比联想而得到.

由本文的内容可以看出，封闭的圆锥曲线（包括圆在内）和不封闭的圆锥曲线（如抛物线），上述结论在形式上相差很大，但在研究方法上却可以类似（都可利用圆锥曲线切线的性质和坐标转移法求轨迹方程）.

本文的结论如果推广到圆锥曲面，那么还会有类似的结论吗？答案也是肯定的.