立意于“过程”观点的课例

余黎刚　邬云德

[摘 要] 立意于“过程”观点的教学怎样操作？本文以“认识三角形”为载体进行了探索. 初步实践验证表明，探索中形成的教学操作方法对落实“过程”观点有积极的影响.

[关键词] 初中数学；过程观点；认识三角形；教学操作

引言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成与应用的过程和蕴涵的数学思想方法.”这意味着概念的形成过程、原理的发现与推导过程、概念或原理与外部的联系及与内部的联系的探索过程、概念或原理的特殊化及一般化的探索过程、发现和提出问题及分析和解决问题的过程、问题解决后的反思过程等是数学课程内容的有机组成部分，特别是数学思维和思想的展开过程是数学课程的重要内容.

这个“过程”观点符合数学教学是以数学知识为资源和手段来“育”人的教育学立场. 立意于“过程”观点的教学怎样操作？笔者以浙教版《义务教育课程标准教科书·数学》八年级上册“1.1认识三角形（1）”为载体，采用研究性变革实践的方式进行了探索. 初步实践验证表明，探索中形成的教学操作方法对落实这个“过程”观点有积极的影响. 本文简录其教学过程，并提供教后反思，供读者参考、研究.

教学过程简录

环节1：明确“研究对象”

在现实世界中，存在着各种各样与三角形有关的物体. 例如，铁塔中的三角形支架、自行车中的三角档、三角形的警示牌等（教师可用多媒体展示三角形的生活实例）. 因此，研究三角形的“形状、大小、位置关系及其组成要素之间的基本关系”，有助于数学地认识世界和改造世界，也能在研究过程中发展我们的智力和能力. 这节课的研究对象就是重要的基本图形——三角形. （揭示课题）

环节2： 定义“研究对象”

（1）画图：请你用合适的画图工具在白纸的适当位置上画一个三角形.

（2）观察：数学地看画三角形的过程，三角形是怎样形成的？其几何特征是什么？请大家合作研讨并发表自己的观点！（三角形的特征有：是封闭图形，有三条线段，有三个角，三条线段不在同一条直线上，三条线段首尾顺次相接等. 其本质特征是：三条线段不在同一条直线上且三条线段首尾顺次相接）

（3）归纳：再画一个三角形，它有同样的几何特征吗？一般地，三角形共同的几何特征是什么？

（4）定义：像研究其他几何图形一样，为了以后研究与叙述方便的需要，我们给这种几何图形一个名称——由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 并介绍表示三角形的符号“△”，顶点、边、内角等组成要素，及表示三角形的方法等.

（5）反思：①产生三角形还有哪些方法？②数学中的三角形与生活中的三角形有何关系？能再举一个三角形的实例吗？③上述过程中蕴涵了哪些数学思想方法？

环节3：生成“研究内容”

（1）讨论：平面几何主要研究几何图形的“形状、大小、位置关系及组成要素之间的基本关系”. 如图1，三角形任意两边之和有何关系？为什么？再画一个三角形，这个三角形任意两边之和是否也有这个关系？怎样用符号来表示你发现的结论？

（2）反思：①三角形任意两边之差有何关系？你是怎样发现的？②三角形任意两边之积有何关系？（从运算的角度思考，是发现问题的常用方法，但这个问题不要求学生课内解决）③三角形任意两边之和大于第三边，那么，如果有三条线段a，b，c，且有a+b>c，a+c>b，c+b>a，则线段a，b，c能否组成三角形？为什么？（从逆命题角度思考也是发现问题的常用方法）④在研究性质的过程中蕴涵了哪些思想方法？

（3）总结：①三角形边与边之间的数量关系有a+b>c，b+c>a，c+a>b，a-b

环节4：尝试“知识应用”

问题1（知识技能）：请说出图2中所有的三角形及每一个三角形的三条边和三个内角.？摇

教师在个别学生回答的基础上进行点评.

问题2（运用规则）：如图3，在△ABC中，D是AB边上一点，且AD=AC，连结CD. 将“>”或“<”填入下面的横线，并说明理由.

（1）AB______AC+BC.

（2）2AD______CD.

教师请个别学生回答，并及时进行点评.

问题3（理解概念）：判断下列各组线段中，哪些能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由.

（1）a=2.5 cm，b=3 cm，c=5 cm.

（2）e=6.3 cm，f=6.3 cm，g=12.6 cm.

追问：有没有简单的判断方法？

问题4（解决问题）：（1）一个三角形有两边相等，已知其中一边是3 cm，另一边是9 cm，则这个三角形的周长是多少？（2）要做一个三角形的铁架子，已有两根长分别为1 m和1.5 m的铁条，需要再找一根铁条，把它们首尾相接焊在一起. 小红拿来的铁条长2.2 m，小明拿来的铁条长0.4 m， 这两根铁条合适吗？你是怎样判断的？

先让学生合作解答，再请个别学生陈述问题的答案，然后教师进行评价.

环节5：进行“课堂小结”

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）三角形是怎样产生的？其本质特征是什么？

（2）三角形边与边之间有何关系？你是怎样发现的？

（3）判断三条线段能否组成三角形的经验是什么？

（4）你在认识三角形的过程中，感受到了哪些思想方法？

（5）学习三角形有何意义？

其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师边倾听、边评价.

第三，教师让学生欣赏三角形的自述（这部分内容可以移至课后）：

Hi！我是三角形. 我的基本特征是不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接. 尽管我的结构比较简单，但我有许多奇妙的性质，并且生活中随处可见我的身影. 告诉你，认识我要运用抽象问题具体化和一般问题特殊化的思维策略、定性与定量相结合的研究方法，要学会发现我组成要素之间关系的科学视角，要善用数形结合思想、分类讨论思想、抽象概括的方法和演绎推理的方法，并且认识我的“基本套路”（明确对象—定义对象—研究性质—广泛应用）对认识其他几何图形有示范作用. 你在认识我的过程中，能理解和掌握我的有关知识与技能，能体会和运用蕴涵的数学思想与方法，能积累有关的数学活动经验，这对你增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力和形成良好的个性有积极的作用.

教后反思

之所以这节课立意于“过程”观点，是因为其教学操作以“过程”观点作为指导思想，具体教学操作方法如下.

（1）在分析基础上确定教学内容. 如“认识三角形（1）”这节课，先根据知识的逻辑体系构建如下“知识框图”（图4）.

再对知识之间的逻辑关系进行解析，并论证认知所需要的条件，然后以全面的内容观和辩证的哲学观为指导确定教学内容……在分析基础上确定教学内容是落实“过程”观点的前提.

（2）把知识结构转化为教学结构. 知识结构刻画的是知识之间的逻辑关系，一般不能作为教学的过程结构，教师必须依据数学的发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律，把学术形态的知识结构转化为易于学生接受的教学结构. 如“认识三角形（1）”的教学结构可用框图表示. （图5）

这是一个自然、简单、动态、和谐的数学教育过程，能使学生经历完整的数学思考过程. 将知识结构转化为合适的教学结构是落实“过程”观点的关键.

（3）运用先“放”后“收”的方法. 先“放”后“收”就是“先教师组织学生进行价值引导下的有适度指导的自主学习基础上的合作学习，再教师进行必要的示范、讲解、归纳或总结”的适度开放式教学方法. 如定义三角形的教学方法是先组织学生在画图基础上自主观察三角形的特征；再组织学生讨论三角形的本质特征；然后教师讲述三角形及其有关概念，以及引导学生在反思基础上进行总结. 这种先“放”后“收”适度开放的教学方法的基本特点是教师价值引导与学生自主建构相结合，并使用了有导学味的问题引导、有启发性的语言点拨、必要的讲解与归纳等的教学指导方法. 这是落实“过程”观点的基本保障.

总之，“过程”观点体现了“数学教育是以数学知识为资源和手段来育人”的教育学立场和数学教学是“以知识教学为基点、以能力培养为核心、以个性教养为目标”的和谐教学理念，而这节课形成的教学操作方法对落实“过程”观点有积极的影响，对促进学生理解和掌握数学知识与技能、领悟数学思想和积淀数学活动经验、增强发现和提出问题及分析和解决问题的能力、形成良好的个性有积极的影响.