巧用“数形结合”思想处理“与圆有关的位置关系”

张燕新

[摘 要] 本文通过实例详细阐述了如何利用“以形助数”“以数解形”“数形结合、相辅相成”解决与圆有关的位置关系问题.

[关键词] 与圆有关的位置关系；以形助数；以数解形

初中教材所涉及的“与圆有关的位置关系”共有三方面，即点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系. 教材充分强调了数（数量关系）形（位置关系）结合思想，而在处理“与圆有关的位置关系”时，我们就可以充分利用数形结合的思想，通过抽象思维与形象思维的结合，使位置关系与数量关系进行互换，把复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的.

“以形助数”

当所遇问题比较抽象时，可以根据题意画出图形，利用图形直观、形象的优点帮助分析题意.

例1 矩形ABCD的长AB为4 cm，宽AD为3 cm，以点A为圆心作圆，若B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围.

分析 可以首先画出符合题意的矩形ABCD（如图1），再分别找到B，C，D三点与圆心A的距离：AB=4，AC=5，AD=3. 通过这些数据可以判断，点D距圆心A最近，点C距圆心A最远，由此可得点D一定在圆内，点C一定在圆外，所以⊙A的半径r的取值范围为3

在利用“以形助数”时，首先要正确绘制图形，只有正确的图形才能正确反映相应的数量关系；其次要善于观察图形，由于条件的变化，图形中蕴涵的数量关系也随之发生变化，如例2中“斜边AB”就提示了本题虽然出于直线与圆的位置关系，但还有“线段”这个条件的限制，增加了题目的难度；最后综合各方面因素，切实把握“数”与“形”的关系，做到以图识性.

“以数解形”

当有些图形过于简单，直接观察看不出什么规律，且利用几何方法无从下手时，不妨把几何问题转化成数量关系，再通过计算获得简捷而一般化的解答.

例3 如图4所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，点E为线段AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的关系？

（1）试写出点A，B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数表达式.

（2）点A出发后多少秒两圆相切？

华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.” 这就明确告诉我们，“数”和“形”是互相联系的，也可以相互转化. 例4利用空间想象与数量计算相结合的方法使得解题明朗化.

总之，数形结合作为一种重要的数学思想，贯穿整个数学教学过程，使许多问题的解决有事半功倍的效果. “以形助数”是把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法；“以数解形”将图形信息转化为代数信息，借助“数”的精确性来阐明“形”的某些属性. 只有在点滴的教学中渗透数形结合思想，才能使学生逐步学会看“数”想“形”、看“形”想“数”，提高解决数学问题的能力.