重温经典新解再现

李玉荣

[摘 要] 经典的几何题一是体现在题目的简洁美，二是体现在解法的多样性，打造经典几何题成中考精品. 研究经典几何题解法是数学教师的一份职责，对教师自身专业发展也具有一定的现实意义.

[关键词] 经典；几何题；翻折；旋转；证法

题目 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，在斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，求证：MN2=AM 2+BN 2.

这是一道经典的几何题，最早出自何时何处已无从考证，但它的证法却常常被解题者津津乐道，堪称经典. 特别是第一次接触原题且自己独立想出证法的同学，感受更为深刻，会从中领略数学的简洁美和解法的神奇美，从此爱上数学、喜欢数学、钻研数学. 此外，睿智的命题者也青睐此题，将其适度演变并打造成中考优秀试题，让更多的同学有机会体验，领略经典证法的神奇.

案例1 （2008天津中考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°、半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M和点N.

（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图2，求证：MN 2=AM 2+BN 2.

思路点拨 考虑MN 2=AM 2+BN 2符合勾股定理的形式，需转化在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了.

请完成证明过程.

（2）当扇形CEF绕点C旋转至图3的位置时，关系式MN 2=AM 2+BN 2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【证法点评】 此考题设置了一种证法，通过翻折变换将原来在同一条直线上的三条线段放置在一个直角三角形中，利用勾股定理即可证之.

案例2 （2012宁德中考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图4，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E.

（1）小敏在线段BC上取一点M，连结AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC. 请你证明小敏发现的结论.

（2）当0°<α ≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD，CE，DE之间存在如下等量关系：BD 2+CE 2=DE 2.

同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决.

小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△AFD，连结EF（如图5）.

（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45°<α <135°且α≠90°时，等量关系BD 2+CE 2=DE 2仍然成立.现请你继续探究：当135°<α <180°时（如图7），等量关系BD 2+CE 2=DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

【证法点评】 此考题设置了两种证法，通过翻折或旋转变换将原来在同一条直线上的三条线段放置在一个直角三角形中，利用勾股定理即可证之.

上述两道中考题将经典证法蕴涵在试题中，给我们解决类似或相关问题带来的启示是不言而喻的，但尊重经典并不意味着拘泥经典，数学的趣味性就在于我们推理和创造能力的充分发挥，超越经典才是解题的最高境界. 笔者在欣赏、体会经典证法的同时，思维并没就此打住──还有其他证法吗？用心寻觅，终有发现，愿与大家分享.

数学教育大师波利亚在《怎样解题》一书中这样告诫我们：一个好的教师必须使他的学生深刻地认识到，没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做，在经过充分的研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进，而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解. 在日常解题教学中，教师要努力做出表率：“你能以不同的方式推导这个结果吗？”