从学生的视角发现教学点

曾志辉

摘 要：怎么能让学生在课堂中发现问题、生成问题，并解决问题，让每一个学生学会学习，让每一个学生学会思考，让每一个学生能够创新，从而实现真正意义上的素质教育呢？基于这些思考，教师有必要对传统教学模式做出一定的改革和创新，实现课堂中的有效教学和有效学习.

关键词：问题导学；合作探究；质疑；有效教学

引例

笔者所任教的班级是学校的一个普通文科班，班上女生居多，成绩普遍较差，数学也是学生感觉到最难学的一门学科，习惯了自己讲授的课堂，笔者想换一种方式来改变一下自己的教学模式. 在讲解人教A版《椭圆及其标准方程》（数学选修1-1）这一课的例题2（书上第34页）时，笔者让学生先看书预习，并且理解清楚，然后请一个学生上台讲解这一道题的做法及解题思路. 原题如下：

例题1 如图1，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足. 当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

学生的讲解如下：

解：设点M的坐标为（x0，y0），点P的坐标为（x，y），则x0=x，y0=，所以x=x0，y=2y0. 因为点P（x，y）在圆x2+y2=4上，所以x+（2y0）2=4，即x+4y=4. 将x0，y0分别换写为x，y，可得方程x2+4y2=4，即+y2=1，所以点M的轨迹是一个椭圆.

学生的讲解基本上符合书本上的思路，过程流畅，语言清晰. 但是，和书本上一个最大的区别是：书上设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0）；而学生恰好相反，设点M的坐标为（x0，y0），点P的坐标为（x，y）. 刚开始笔者以为是学生记忆错误，想等到学生讲解完后再纠正，学生没有给笔者这个机会，最后非常明确地说将x0，y0分别换写为x，y，可得方程x2+4y2=4，从这可以看出，学生对这道题里所蕴涵的知识和方法已经理解得非常透彻，并能加以灵活运用，也非常明白轨迹方程的正确表示. 尤其可贵的是，当这个学生讲完后，马上就有学生提出了质疑：题目中说“垂线段PD”，当点P运动到x轴时，PD不再构成线段，是不是应该将所求轨迹再去掉与x轴的两个交点？看到学生们的精彩表现，笔者当时激动的心情不可言语.如果这道题由笔者来讲解，肯定是严格按照书上所写，并提炼规律：求哪一点的轨迹方程就要设这个点的坐标为（x，y），其他相关点的坐标设为（x0，y0）或者别的形式，再注意所求轨迹的完备性. 这样下来的直接后果是：学生首先感觉到要记住这种题型，同时要记住这个规律，一旦忘记就会觉得无从下手，无形中增加了学生的记忆量，减少了解题的灵活性，并且没有掌握数学知识发生与发展的实质.

由此，笔者有了下列的思考：如何让教学课堂成为学生真正学习的课堂，让课堂成为学生思维拓展、能力扩充的场所？为了达到这个目的，笔者尝试进行了一系列教学模式的探索工作.

教学片断

1. 争论中激荡着思维

在讲解人教A版《数学5（必修）》第二章中的《数列的概念与简单表示法》一课时，笔者设计了如下一道题，目的是让学生理解根据数列递推公式求通项的方法. 课堂中，笔者尝试着让一个学生按照自己的思维在黑板上展现出自己的解题思路，让另外一个学生在讲台上把该名学生的过程讲解出来.结果，意想不到的争论发生了.

例题2 设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=（n∈N*），求an.

邓同学在黑板上展示如下：

等到涂同学上台展讲时，她对着黑板上的展写若有所思地说：①式变到②式是由3n-2an-1中的n-1加1后变成3n-1an，反过来看，②式左边有n个项，而①式左边只有n-1个项，②式变不回①式. 所以①式是错误的.

邓同学即刻上台反驳，指着①式的左边说a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1是②式a1+3a2+32a3+…+3n-1an的前n-1项.

涂同学没明白，坚持说②式变回不到①式，下面学生群情鼎沸，议论纷纷.

王同学终于按捺不住，愤然上阵，要邓同学下去，对着涂同学说②式比①式多一项，②-①就得到了 3n-1an=.

涂同学仍然坚持既然②式变回不到①式，①式根本就不存在，怎么会有②-①呢？

王同学满脸通红，急得跑回课桌拿到自己的试卷，跑到讲台上把它通过幻灯展示出来，指着试卷的书写（和邓同学的书写大致相同，只是①②式交换了位置），说了①式怎么变到②式. 涂同学似有所悟，陷入了沉思. 争执终结.

争执的焦点：涂同学只看到了局部的代换，①式变到②式是由3n-2an-1中的n-1加1后变成3n-1an以及中的n-1加1后变成，再看到式子的前面部分，发现不符合既定规律，于是得出结论“②式变不回到①式，所以①式是错误的”. 邓同学、王同学是用整体观念述说了递推数列中的n的一般性与可递推性. 由于表达上的不够清晰，发生了激烈的思维碰撞，激起全体学生的热烈参与，整个课堂在争论中达到了高潮，学生在交流中明白了两种思维方式，达到了良性学习的目的.

2. 方法中孕育着智慧

在讲解《等比数列》的一节习题课中，有一道简单的填空题，在笔者看来，可以说是一两分钟就能解决的问题. 在课堂上，当把它的讲解交给学生后，平淡的课堂一下子就变得活跃起来：当第一个学生讲解完后，马上有学生站起来补充第二种方法. 在两种方法讲完之后，笔者以为可以结束这道题的讲解时，第三个学生站起来：老师，我在第二个同学的方法上想到了另外一种方法，不知道可不可行？整个过程如下：

例题3 在等比数列{an}中，对任意n∈N*，都有an=an+1+an+2，则公比q=_____.

学生1：应该设一个首项a1，因为an=an+1+an+2，所以a1qn-1=a1qn+a1qn+1，

两边消除a1qn-1，得1=q+q2，解得q=.

学生2：不用设a1，因为an=an+1+an+2，所以an=anq+anq2，两边消除an，得1=q+q2，解得q=.

学生3：第二个同学得到an=anq+anq2这个式子，那么根据题意，它应该也是对任意自然数n都成立，可以令n=1，得a1=a1q+a1q2，两边消除a1，得1=q+q2，解得q=.

学生的讲解显得非常流畅，第三个学生能在第二个学生的方法基础上得出第三种方法，给所有学生树立了一个非常好的榜样：原来学习可以这么简单.当第三个学生讲解完后，所有的学生都报以热烈的掌声.

3. 补充中弥补不足

将课堂交给学生后，笔者鼓励学生查找参考书，自学方法并加以运用，在课堂上给其他学生讲解，以扩大知识面和思维结构. 例如，在讲解《等比数列》这节课中，笔者设计了如下一道题：

例题4 正项等比数列{an}与等差数列{bn}满足a1=b1，a7=b7且a1≠a7，则a4，b4的大小关系为（ ）

A. a4=b4

B. a4>b4

C. a4

D. 不确定

学生讲了如下解法：

因为a1≠a7，所以2b4=b1+b7=a1+a7=（-）2+2>2=2a4，故a4

学生能把知识这么灵活运用，已经大大超出笔者想象，毕竟他们是普通班的文科生. 当笔者正沉浸在兴奋中时，马上有学生站起来，说：老师，我有一种更好的想法——图象法，如下：

等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1（a1q≠0），它的图象是分布在曲线y=·qx（q>0且q≠1）上的一些孤立的点，等差数列{bn}的通项公式an=a+（n-1）d，它的图象是分布在直线y=dx+a1-d上的一些孤立的点. 因为a1=b1，a7=b7，所以两列图象有两个公共点，如图2，

显然有a4

学生能够清晰地讲解出这种思路，说明对数列的函数特征以及函数图象的凸凹性有很好的理解，并能进行灵活运用. 这种方法如果由教师直接讲解出来，学生只会对教师产生所谓的“崇拜”心理，即使自己不会，也会觉得是理所当然的事情. 学生自己讲出来，效果就完全不一样了，人都有“自我证实、自我挑战”的心理，当看到其他学生能够这么流利轻松地讲解一种不一样的方法时，内心必然会激起波澜，学习的欲望更加强烈.

结束语

以前的课堂教学一般都是由教师来主宰，学生很少有发言权. 当把这种角色置换一下后，我们可以看到，从学生的视角能发现许多精彩的教学思维.