基于数学实验的幂函数教学设计与反思

赵颖颖

摘 要：新课程下的数学教学活动与信息技术整合程度不断提高，在教学中利用各种信息技术可增强学生数学学习兴趣，开阔数学视野，激活数学思维，提升数学能力，从而有效提高教学效率. 本文基于数学实验探究，创设利于学生发现数学的实验情境，让学生自主地“做数学”， 使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.

关键词：幂函数；教学设计；反思；数学实验

笔者近日就《幂函数》（苏教版教材）内容开设了一节公开课，教学设计中基于数学实验，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，从中体会了数学概念核心的发展与数学的发展的过程. 现将本节课始末呈现出来，与同行们交流.

设计前的几点思考

1. 找一个怎样的实例？ 如何自然地引出幂函数的概念？

课本选择了商品的价格和需求的关系这样一个生活实例，根据表格给出的数据得到价格x与需求量y之间近似地满足关系：y=114.8764x-0.3815192，指出这个关系式与y=x-0.3815192是相关联的，它不是指数函数，从而引出幂函数的概念. 这里有两个问题，一是价格x与需求量y的关系式是怎样得到的？二是有没有其他实例更贴切于幂函数的函数模型.

2. 怎样由“数”到“形”？

教材中的例1是通过对式子结构的分析，得到函数的定义域和奇偶性的，这与通过对函数的解析式的研究得到函数的常见性质是一致的，也就是通过“数”的研究得到函数的常见性质. 接着给出一个思考，问函数的单调性如何，这时发现用“数”比较麻烦，为“形”的研究做了很好的引导，画出函数图象后，回过头来轻松得到函数的定义域和奇偶性.这种由“数”到“形”及由“形”到“数”，进一步体现了数形结合的思想和方法.

3. 用什么办法指导学生归纳出幂函数的共同特征？

面对多个不同幂函数图象，怎样发现它们的共同特征，体现了一种对“数据”的处理分析和归纳总结的能力. 当y=xα中的α不断变化时，它的图象是怎样变化的，它们又有怎样的共同特性？可以分α<0，0<α<1，α>1三种不同情形来探讨.

4. 现代教育技术怎样使用最有效？

我们可以通过Excel进行数据拟合，得到x与y的函数关系式（在拟合过程中，可分别尝试用指数、二次多项式、乘幂），也可通过用几何画板动态地显示出函数y=x2，y=x3，y=x的图象，以及α<0，0<α<1，α>1三种不同情形下的幂函数的图象，从而发现这些函数图象有什么共同特性. 现代教育技术的使用，有助于课堂教学效益的提高，但不能在使用现代教育技术的时候，忽视教师和学生的主体作用.

教学设计

1. 问题情境

由“神六升空”引入研究天体运动，研究太阳系八大行星.

设计意图： 兴趣是最好的老师.如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半. 因此选择学生感兴趣的问题引入，能够激发学生思维，激发学生的求知欲.

表1中给出了八大行星离太阳的距离和它们运行的周期，试建立这两组数据之间的关系：

在Excel工作表中输入上述数据，作出散点图后观察散点趋势，尝试用指数、对数、乘幂和二次多项式拟合. 与指数、对数、二次多项式比较，用乘幂拟合得到的R2值为1，因此用乘幂进行拟合最恰当. 再进行观察发现，运行周期T与d满足关系T≈0.2001d1.4996≈0.2d，这就是开普勒第三定律的数学表达式，它揭示了“公转时间的平方与平均距离的立方成正比”这一天体运动定律.

资料：开普勒1609年发表的伟大著作《新天文学》中提出了他的前两个行星运动定律. 十年后开普勒发表了他的行星运动第三定律：行星距离太阳越远，它的运转周期越长；运转周期的平方与到太阳之间距离的立方成正比.有关开普勒的介绍详见http：//baike.baidu.com/view/4416.htm.

设计意图：力求通过信息技术与课程内容的整合，激发学生对学习的兴趣.通过开普勒第三定律发现所用时间与利用Excel探求所用时间的对比，体会现代技术的力量，鼓励学生把现代技术作为学习研究和探索解决问题的工具.

2. 建构数学

通过学生观察、对比，发现y=x，这是一个区别于指数、对数、二次多项式的函数，我们把这样的函数定义为幂函数.

定义：一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.

设计意图：通过与指数函数、对数函数定义的类比，得出幂函数的定义.

思考1：判断下列函数中哪些是幂函数？

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问题1：幂函数与指数函数有什么区别与联系？（组织学生回顾指数函数的概念，明确二者的区别，得出结论）

结论：幂函数和指数函数是我们高中数学中研究的两类基本初等函数，从它们的解析式来看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数；对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数.

设计意图：通过与指数函数、对数函数对比，加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.

3. 数学运用

问题2：我们已经对幂函数的概念有了一定的认识，能否举一些幂函数的例子？

由学生举例，略.

根据前面我们学习指数函数、对数函数的经历， 我们下面应该研究它们的图象和性质.

问题3：我们应怎样研究幂函数？

例如，用Excel描点画出函数y=x3的图象（在作出x≥0部分图象后，可进一步提问）

问题4：用Excel描点画出x≥0时函数的图象后，能否不用描点法作出x<0时函数的图象？

引导学生利用函数的奇偶性作图.

设计意图：引导学生认识到对于幂函数，可以先利用解析式研究函数的奇偶性，然后再研究图象、单调性等性质.

思考2：写出下列函数的定义域，并指出他们的奇偶性：

（1）y=x3；（2）y=x；（3）y=x-2.

因此在利用解析式讨论幂函数的奇偶性后，我们只需研究幂函数在第一象限的图象与性质.

问题5：研究幂函数在第一象限图象与性质.

在这个环节中，引导学生自由选择不同的幂函数，利用几何画板中的函数的作图工具作图，通过作图，探究它们的图象与性质，并将自己的探究结果记录下来，在研究过程中，学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究，分别记录它们的图象与性质，并在探究过程中对幂指数的作用进行初步的探索. （教师可根据实际情况对学生小组进行指导）

设计意图：发现性质，弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示幂函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟. 为了扭转这种方式，可以引导学生回顾指数函数、对数函数的性质，再利用类比的思想、小组合作的形式通过图象主动探索出幂函数的性质.

同时，教师可以对学生进行数学思想方法的有机渗透（从特殊到一般，再从一般到特殊，数形结合、分类讨论等），考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导. 通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人，更可加深学生对所得到结论的理解.

问题6：组织小组交流幂函数在第一象限的图象与性质.

在这一环节中，教师引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来，并请一名学生将图象画到黑板上，通过对学生所画图象的纠错与分析，教师和学生共同归纳出幂函数在第一象限的图象与性质：

（1）图象必过（1，1）点.

（2）当α>1时，过（0，0）点，且y随x的增大，函数图象向y轴方向延伸，图象是下凸的. 在第一象限是增函数.

（3）当0<α<1时，随x的增大，函数图象向x轴方向延伸，函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.

（4）当α<0时，随x的增大，函数图象与x轴、y轴无限接近，但永不相交.在第一象限是减函数.

（5）α=1和α=0的情况. （略）

设计意图：通过小组交流、教师的引导，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；突出学生学习的主体性，激发学生学习的兴趣.

思考3：不借助计算机，你能画出函数y=x的图象吗？

思考4：已知幂函数y=xm-3（-3

设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解.

4. 回顾小结

幂函数的概念，几个简单的幂函数的图象，幂函数图象的变化情况和性质.

教学反思

本节课的教学中，教师创设有利于学生发现数学的实验情境，让学生自主地“做数学”，将传统意义上的“学习”数学改变为“研究”数学，从而使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方式的同时学会思考. 新课标要求学生在学习幂函数时通过实例了解它的概念，结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的图象，了解它们的变化情况，这就需要我们在教学过程中不要拔高幂函数的学习要求，而应帮助学生能正确画出上述几个函数的图象，也能说出它们图象的共同特性. 幂函数是区别于学生所掌握的几种函数的又一新的函数，形式上与指数函数相似. 两个函数概念的辨析是学生学习的难点，这就要求我们在讲解概念时到位，设计一些小题训练使学生对概念有清晰认识. 借助幂函数图象的变化情况，学生能正确地画出一个给定α时的幂函数图象是本节课的最终目标，使学生能通过使用现代技术（几何画板、Excel等）自主探究数学问题，掌握获取知识的方法.

本设计一方面重视学生数学学习过程是活动的过程，使学生有机会经受足够的亲身体验，亲历知识的自主建构过程；使学生学会从具体情境中提取适当的概念，从观察到的实例中进行概括，进行合理的数学猜想与数学验证，并作更高层次的数学概括与抽象，从而学会数学地思考. 另一方面，本设计注重创设机会，使学生有机会看到数学的全貌，体会数学的全过程. 整堂课的设计围绕研究幂函数的图象展开，以问题“研究幂函数性质”为主线，既让学生清楚如何研究函数，明确学习目标，又让学生初步学会如何应用规律解决问题，体会知识的价值，增强求知欲.