画龙还须点睛

摘 要：回想自己的学习时光，除了恩师的音容笑貌，印象最深的可能就是触及我们灵魂深处的点拨与启发，虽然可能仅是只语片言，但或幽默，或诙谐，或睿智，或犀利，或深刻，情趣盎然，让人回味，令人深思，催人奋进，毕生难忘，成为经典. 因此，笔者试图从课堂教学中的一些片断出发，来谈谈点评教学艺术的运用.

关键词：数学课堂教学；点评；艺术

教学艺术的高低不在于教师本人是否自我感觉良好，而取决于是否真正激起学生的内心动机与智慧，激发学生的兴趣，调动学生的情感. 德国教育家第斯多说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.” 在教学过程中，及时、独到的点评，可以触及学生的内心，使其震撼. 经典的点评，会让学生回味无穷，产生情感的共鸣. 如同琴师，声声语语无不在拨动学生感情上的琴弦；如同画家，笔笔画画都在构描学生思想上的蓝图. 恰到好处的点评让听课成为一种享受，使知识的形成水到渠成而又印象深刻. 本文结合课堂教学中的某些片断，谈谈点评教学艺术的运用.

有图象就不抽象——直观性教学原则

直观性就是化抽象为直观，函数图象的直观特点有助于减轻学生的思维负担，一定程度上克服函数对应关系的抽象性. “以形助数”，运用直观手段，使学生感到形象鲜明、生动有趣，容易巩固所学知识.

案例1 对于函数f（x）=sinx，sinx≤cosx，

cosx，sinx>cosx，给出下列四个命题：

①该函数是以2π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值-1；③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ

图1

解：在同一坐标系中画出正、余弦函数的图象，首先明确它们的交点就是函数值相等的点. 只要“看图说话”，一目了然，很容易得到正确答案为①④.

点评：数学中有很多问题可以从形的角度来思考，实现简化和直观化的目的. 当然也要注意华罗庚先生说的“数缺形时少直观，形少数时难入微”，真正做到“形影相随”. 运用数形结合的思想方法解决问题，应该遵循简单化原则、等价性原则和双向性原则.

练习：已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex，其定义域为[-2，t]，设m=f（-2），n=f（t）.

（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上是单调函数；

（2）试判断m，n的大小，并说明理由；

（3）试讨论关于x的方程f（x）=a的根的情况.

谁的地盘谁做主——主元思想的运用

多变量的函数问题，往往是学生感觉比较困难的. 针对多个变量的情况，若已知某个变量的取值范围，则可将此变量当作未知量（即主元），实现“反客为主”，避免分类讨论，从而使问题得以简化. 这也是转化与化归的数学思想的体现.

案例2 设不等式ax2-2x-a+1<0对任意a∈[-2，2]都成立，求实数x的取值范围.

解：设f（a）=（x2-1）a-2x+1，原不等式即f（a）<0对任意a∈[-2，2]都成立，而函数y=f（a）的图象是一条直线，所以当且仅当f（-2）<0，

f（2）<0，即-2（x2-1）-2x+1<0，

2（x2-1）-2x+1<0，解得x∈

，

，这就是x的取值范围.

点评：因为a的取值范围已知，所以让a当“主人”，使得关于x的二次函数转化为a的一次函数，避免了烦琐的分类讨论，使问题得以简化，真正实现“谁的地盘谁做主”.

练习：已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1.若a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，有>0.

（1）证明：f（x）在[-1，1]上是单增函数；

（2）若f（x）≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围.

动中有静，以静制动——特殊值法的运用

案例3 A，B是过椭圆+=1（a>b>0）右焦点的任一弦，若过椭圆中心O的弦MN∥AB，且

该题的结论是定值决定了不管在什么位置，其值不变的特征，因此只要考虑AB垂直于x轴的情况，即得答案.特殊值法对付小题是个不错的选择.

点评：对于定点、定值问题，由于在运动过程中，其值是保持不变的，也就是说与图形的位置无关，因此，可让动点静止于某特殊位置来计算定值，这就是“以静制动”. “以静制动”的过程其实也是一般问题特殊化的过程.

练习：过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则+等于__________.

向量条件几何化——向量方法的运用

向量既有大小又有方向的本质属性决定了向量问题可从数和形这两个角度来认识，而往往从形的角度来思考，可以减少运算量，使得问题解决起来比较方便.

案例4 点O是△ABC所在平面内一点，若++2=0，则△AOC的面积与△ABC的面积之比为__________.

[B][A][C][D][O][E]

图2

解：如图2所示，D是线段AB的中点，由向量的加法运算，有+=2，所以=-，故点C，O，D，E共线，且CO=DO，AD=BD，所以面积之比是1∶4.

点评：不少数学高考试题中，问题的条件往往以向量的形式给出，因此在审题时，要善于利用向量形的特征，洞悉图形所隐含的特殊关系，这是破解考题的关键.

练习：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是边BC的中点，且·=（a2-ac），则角B的大小为________.

喝牛奶要品出青草的芳香——透过现象看本质

案例5 设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）>0，xf′（x）-f（x）<0，则对任意的正数a，b，若a>b时，则必有（ ）

A. af（b）

B. bf（a）

C. af（a）

D. bf（b）

解：由xf′（x）-f（x）=xf′（x）-x′f（x）<0，联想到导数的运算法则，即

′=<0，于是是减函数，所以<，所以选B. 本题的关键是由导数的运算法则展开联想，从而构造新函数，根据已知条件，可以确定函数的单调性，由其单调性来解题.

点评：要从牛奶中品出青草的芳香，就需要我们能够静下心来，认真思考，用心体会. 透过表象，揭示问题的实质.

练习：说说以下各集合的区别：

一个好题犹如一部侦探小说——数学美的欣赏运用

一个好题因其构思的巧妙、思维的缜密，就好像一部情节跌宕、环环相扣、引人入胜、耐人寻味的侦探小说. 随着一个个条件的利用、挖掘，离目标越来越接近时的那一刻，令人叹为观止，拍案叫绝.

案例6 已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（-1）=0，对任意实数x，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤

.

（1）求f（1）的值；

（2）证明：a>0，c>0；

（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx是单调函数，求证：m≤0或m≥1.

解：（1）因为f（1）≤

而要使当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx是单调函数，只要函数的对称轴x=≥1或x=≤-1，即m≥b+2a或m≤b-2a，因此问题的关键是要求出a的值，而从已知仅得a+c=，且似乎已没有什么条件可利用，陷入绝境.

事实上，4ac≥（b-1）2=

点评：在“山重水复疑无路”的困境中，巧妙利用基本不等式使得此问题的解决过程出现“柳暗花明又一村”的转机. 编题者的睿智令人折服，余音绕梁，回味无穷. 只要懂得欣赏数学美，懂得数学对思维训练的价值，学习数学就变成一件快乐的事情.

数学就是一种游戏——游戏的潜规则

案例7 在立体几何的教学中，“眼见不一定为实”（空间想象能力）. 因为对于刚开始学习立体几何的学生来说，最容易将立体的图形看成平面图形，从而被自己的眼睛所蒙蔽；导数一章中，“面对三次函数，你还用Δ，你就out了”；解析几何中，“一点一线伴探究，有勇有谋话运算（策略也很重要）”；三角函数中，“从局部到整体（周期性）”；数学思想教学中，“弟兄七八个，总得分先后（分类讨论）”； 线性规划中，“以线定界，取点定域”等等. 也可以用诗词的形式来总结一些问题、方法、想法. “不识庐山真面目，只缘身在此山中”说明对概念的理解存在缺陷；“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”说明坚持到底是值得的； “忽如一夜春风来，千树万树梨花开”说明解题后反思、感悟的重要性.

点评：让知识插上情感的翅膀，让教学披上艺术的灵光，提高课堂教学的艺术性，让学生对新知识的发现、开拓、利用、揭示，对新问题的解决、拓展、延伸、归纳，都在教师风趣、幽默且富有哲理的语言表达中得到点拨、启发，能令学生为之振奋，更叫学生深为敬佩.

总之，我们应该让课堂教学中的点评成为一种拨动心扉的力量，一种播种心田的艺术，一种陶冶心灵的美，使平凡成为经典，成为一种征服人心的力量，体现出画龙点睛的神奇魅力.