逐级递进多元建构 促进模型思想的整体形成

刘杰 陈祖惠

摘 要：数学常态教学中，数学模型的建构过程常会出现忽视学生实际、知识内容特征及教材编排的意图的现象，师生只偏重于模型的呆板与机械的套用，弱化亲历思考、探索与体验的模型建构过程。并且在小学阶段几年的学习中，一些数学模型并不是或并不能在一朝一日之间建构与形成，它需要随着学生的年龄增长与知识内容的特征逐级而上，循序渐进的生成与建构。因此，小学数学教学中应注重模型思想的整体构建，突显建立模型求解模型的体验过程。

关键词：模型思想 逐级渐进 多元 整体建构

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）03（b）-0089-02

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如模型思想就是其中之一。模型思想的建立应具有这样过程：学生在积极参与教学过程中，通过独立思考、合作交流，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，以多元方式建立表示数学问题中的关系和规律，求出结果并讨论结果的现实意义；通过多次的思考和长时间的积累，逐级渐进使学生逐步感悟模型是一种重要的思想。下面我将自己在一线教学中对模型思想建构的理解与做法作一些阐述。

1 关注学生与知识内容，有效提升模型整体建构的意识与素养

新课标指出：重要的数学思想要体现螺旋上升的原则，需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，所以在教学相应的数学内容与思想方法是，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学前提下，逐级递进、螺旋上升的原则，注重数学思想的整体建构。

根据螺旋上升原则，是要求学生在尝试的广度和深度等方面都要有实质性的变化，即体现明显阶段性要求。所以模型思想的建构应根据具体的教学内容，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，由浅入深、由易到繁地渗透数学模型法思想，引导学生实践，通过独立思考、尝试探索、合作交流等，让学生逐步感悟、初步形成模型思想，培养数学应用意识，提高学生的实践能力。

而在实际教学中很多一线老师由于教学观念或理念问题，忽视学生的年龄特征，偏重于数学模型的机械应用，轻视学生亲历数学模型的建构过程。学生有困难，老师最多的批评就是这样公式、方法都记不住，真笨。学生真笨吗？不一定，关于学生怎样富有成效的学习以获得很重要的数学思想与方法是值得每位老师反思与研究的。

如有关鸡兔同笼问题模型的建构与求解，是小学阶段的一个重要的模型，同时也是一个较难理解的数学模型。这种模型的建构并不只为学生的求解，更重要的是让学生在“做”和“思考”的过程中有效的积累数学活动经验，体会模型建构的思想与策略，并获得解决现实生活中数学问题的一些有效策略与方法。

纵观小学阶段的学习，有关“鸡兔同笼”模型问题应该根据学生的实际和教材的编排意图可以以多个阶段、多种方法建立模型，启发学生从不同的角度思考同一个问题，即：同一模型的多种情境创设与建构。这样有利于学生进行比较，加深对于模型的理解，有效提升学生问题解决能力与数学素养。下面我就此模型为例继续展开深入探讨和分析。

2 亲历尝试与作图活动过程，直观初步感知数学模型

由于低段学生年龄的限制，儿童对纯符号的运算往往比较困难，学生对模型的初步感知应运用或借助作图辅助的策略，以纸上涂涂画画，并在不断地“试误”来感受。这样不仅可以帮助他们拓展思路，而且还能逐步体会到数学问题模型中的规律或关系。

在第一学段二年级的7岁小朋友中，为了渗透一些简单的有关“鸡兔同笼”的模型思想。可出示一些简单的鸡兔同笼知识，如：鸡兔同笼，共同8个头，20条腿。笼里有几只鸡？几只兔？

在这里我们让小朋友先自己根据对这两种小动物的认识，说说各自有几个头与条腿，再根据自己的想法对这个问题进行思考，你能想出什么办法来找到笼里小动物各有几只？小朋友很能想知道这题的答案，于是十分积极参与讨论，但想准确知道正确的答案却较为困难。

这时我给小朋友介绍一种“画图凑数法”再来试试看是否很方便。我们可以用“”来表示1个头，用“”来表示一条腿，再来试试，学生们根据8个头与20条腿这两个信息进行画图凑数，不断的尝试与调整，最后可以小结出较为简洁的办法：画图时，可以先都画成2条腿的，也可以先都画成4条腿的，还可以将2条腿与4条腿的各画一半分别再进行调整，逐步认识到：鸡与兔每相差一个头就相差两条腿。最后就能得到正确的答案。在这一过程中，学生充分参与了问题的尝试操作探索中，采取直观的方法进行有效而真实的体验，过程充满了乐趣，丝毫不觉数学问题的枯燥。更重要的是通过这样的方式与手段，让7岁的小朋友对这类问题进行了简单模型的建构。

3 借助例举操作感知规律，初步体会模型思想

到了小学的中段，随着学生年龄与能力的增长，操作能力有了进一步的提升，尤其随着四则运算能力的提高，学生可以将问题模型中的信息例举并做相应的处理后，模型的特征就会显现，从而能帮助学生较快的寻找到模型问题的解决思路，更掌握一些问题解决的策略，如运用表格进行问题的例举尝试探究就是一种有效的策略。

如：停车场停着大汽车和小汽车一共有14辆，大汽车有6个轮子，小汽车有4个轮子，现在14辆汽车一共有72个轮子，问有几辆大汽车？几辆小汽车？（表1）

学生通过一一枚举，继续计算下去，当大汽车为8辆，小汽车为6辆车轮总数就等于72个，也可以启发学生认真思考在运用四则运算中逐渐发现了规律，每少一辆大汽车就多一辆小汽车，车轮的总数就相差两个，从表中可以直观的看出，车轮总数是72时，84-72=12，6-4=2，所以12÷2=6，大汽车的辆数为14-6=8，小汽车数为0+6=6。

同时也可以在表中先让小汽车的辆数为了14，则14×4=56，72-56=16，16÷2=8，小汽车的辆数为14-8=6，大汽车辆数为0+8=8；也可以这样尝试：大、小汽车都为7辆，也运用枚举的办法，得出正确答案。

学生还可以这样思考，大汽车辆数为：7×6=42，小汽车辆数为7×4=28，42+28=70，则规律可以算出大汽车为8辆，小汽车为6辆。通过以上的尝试的办法探索规律，得出结果，让学生体验到枚举是数学探索的一种有效方法，进一步对“鸡兔同笼”问题的模型特征进行了理解与建构。

随着学生的数学探索能力与四则运算能力的进一步提升，进入小学的高段后可以在总结规律的基础上提炼出解决此类问题模型的假设法，适当地脱离列表枚举的方法，直接运用猜测与规律深入理解模型，在此基础上运用四则运算解决问题。但较多的老师觉得列表枚举太麻烦，而舍弃这表格的例举，而直接让学生采用个假设法，这样不符合学生年龄及思维能力的实际，忽视了探究方法与能力的培养，为解题而做题，不利于模型特征的理解与稳固建构。

4 运用数学符号建构模型，促进模型思想有效形成

随着学生能力的逐步提升，老师可以鼓励或引导学生来进一步讨论“鸡兔同笼”问题，用字母代替鸡与兔的腿数，运用数学符号来表示模型规律，从而得到计算腿总数的模型，提升学生的数学抽象与概括能力。

通过这样的方式，学生不仅加深了对方程意义的理解，而且更进一步体会了什么是方程正确的解，还可以利用乘法分配律对学生进行解较复杂方程的训练，提升了学生综合运用数学知识解决实际问题的能力，有效而且高效地促进了此类问题模型的进一步提升。

5 拓展深化熟练运用模型，提升问题解决能力

在六年级的教学中，学生的抽象与逻辑思维能力有了较大的提高，学有余力的学生对数学有了进一步的兴趣，为了与初中学习的进一步衔接，我们还可以进一步利用二元一次方程直接列方程进行问题模型的建构。以上题为例，可以将鸡的只数假设为a，兔的只数b这样根据题意可以得到两个方程：（1）a+b=30和（2）2a+4b=70，可用代入法得到方程2a+4（30-a）=70，从而得到解为a=25和b=5。

在以上几种方法的基础上，对这几种模型建构的方法进行比较，可以得出：在低段运用数形结合的思想进行模型的建构，方法直观，重在尝试猜测凑数的特征明显，符合童趣要求。在中段运用的列表枚举方法，进行有序尝试，寻找规律特征，方法或方式虽然较为繁琐，但思路清晰，探索方法十分有效；而后的假设法主要是根据“鸡兔同笼”模型特征的规律，运用四则运算方法进行计算，虽然计算较简便，但可以感受出这种方法思考难度较大，对学生要求较高。一元一次方程思路较为简洁，但列方程和解方程的过程计算要求较高，而二元一次方程思考最简洁，但解方程的计算最为烦琐。

通过上面的综合阐述，可以看出经过长期的逐级递多元建构，学生经历多次的反复思考和长时间的积累，会逐步感悟模型是一种重要的思想，相信学生对数学模型能形成较为清晰的认识。所以在小学阶段学习中，众多的数学模型需要运用多元方式采取逐级递进的策略，进行整体而有效的建构，以强化学生对数学模型的理解与运用，从而有效降低思维的难度，促进学生学习数学的兴趣养成和思维能力提升。

参考文献

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[2] 陆友键，陶君玉.一堂别开生面的低年级趣味数学课[J].湖南教育，1986（2）：31-32.