做数学：新增“两基”的教学新视角

仲广群

本期视角：基本思想和活动经验

策划人语：《数学课程标准》（2011年版）将课程目标在数学基础知识和基本技能的基础上，把获得数学的“基本思想”和“基本活动经验”也增列为数学教学的重要目标，由原来的“双基”发展为“四基”。数学思想无形地隐含于数学知识体系里，数学活动经验承载于数学活动和学习过程中。对于新增“两基”的教学，我们不能简单用传授知识和培养技能的方式来进行，而应该积极探索和寻找数学思想和活动经验的教学新途径。

有人说学习的最高境界就是所学知识忘记了，但精神、思想和方法随时随地地发生作用，这才能令学习者受益终生。下面这组专家文章或着眼数学素养，或从评价角度，或深入做数学中，让我们从新的高度、宽度和深度上，充分认识在教学中关注数学思想、数学活动经验的重要性；挖掘并准确把握教学内容的数学内涵与教育价值；根据不同内容特点设计有效教学活动，让学生真正经历、参与到活动过程中去，获得良好的数学素养，为21世纪创新型人才培养目标而努力。

（吕 英）

《数学课程标准》（2011年版）设定的“课程目标”在基础知识、基本技能的基础上，增加了基本思想、基本活动经验，这样，由原来的“双基”发展为“四基”。若是我们将之前的“双基”与新增的“两基”作一比较，便不难发现，它们之间有着很大的差异。过去的“双基”是明白的、确定的，新增的“两基”是概括的、难以精确表达的；过去的“双基”是可以通过言语传授和形式训练来获得的，新增的“两基”是无法直接拿来进行教学的；过去的“双基”属于显性知识的范畴，而新增的“两基”属于隐性知识的范畴。正是由这些内隐性、概括性和很强的个体特征所决定，对于新增“两基”的教学，我们不能简单用传授知识和培养技能的方式来进行，而应该研究内隐知识的特点，寻找数学思想和活动经验的教学新途径。

著名教育家陶行知关于人如何获得知识曾作过一个形象的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机组成部分。”可见，数学活动经验是学生数学学习的必要前提，是其获得数学思想的主要源泉。教学的任务就在：对学生既有的经验进行筛选、整理、优化和提升，实现经验的改造或重组，以帮助学生生成新的经验，促进学生的经验上升到更高水平，让模糊的变得清晰起来，让片面的变得完善起来，让肤浅的变得深刻起来，让零散的变得结构化起来，而这，就是引领学生经历“数学化”的过程，也是数学思想的形成过程。所以，新增“两基”的教学，其实是要求我们努力实现从“教数学”向“做数学”的美丽转身。

“教数学”与“做数学”有着怎样的区别？我们不妨以马云鹏教授所举的一则案例作说明。下表是某市一周之内的最高气温，请将表中的信息绘制成折线统计图。

这是小学数学中较为常见的问题，要求学生运用统计图的知识与方法表示数据——这就是“教数学”。如果把这个问题改变一下，变成“记录一周之内每天的气温，再提出相关的问题，并在班上讨论”——这就是“做数学”。两者的区别一目了然。“教数学”侧重于知识的传授、技能的培养，是应试的取向，“做数学”侧重于经验的积累、思想的形成，是培养学生数学素养的取向；在“教数学”中，学生处于客体的地位，在“做数学”中，学生处于主体的地位；在“教数学”中，学生获得的是显性知识，在“做数学”中，学生获得了更多的隐性知识。所以，后者既是对前者必要的补充，又是对前者的批判和超越。

那么在教学中，如何引导学生去“做数学”呢？下面分三点谈一谈自己的做法和体会。

策略一：引导学生仔细观察，勤于操作，丰富其表象，拓展其体验性经验

有研究表明，就智力和经验对学生概念学习的影响程度来看，经验的作用更大。孩子们的内心世界往往不是按照定义的方式来理解的，他们更多地按照先前眼睛看到的，尔后积累在脑海中的经验来给所学的抽象概念加以编码。丰富的经验背景是学生理解概念的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验”，不光指从学校学习中获得的，学生从日常生活中获得的经验也起着非常重要的作用。事实上，学生掌握的数学概念大多是对自身经验经过辨别、分化、抽象、概括以后发展而来的。

活动经验是在活动中获得的，数学活动主要是指观察、操作、实践。

观察。数学本就来源于生活，数学所研究的现象，大都是生活中的现象，这一点在小学阶段尤为明显。大小、多少，加上、减去，平移、旋转，认识人民币、认识时间、感受1米有多长……数学中的许多概念，都是学生可以通过观察，直接从生活中获取的。当然，也有有意识地引导的数学观察，比如三角形有几条边、几个角；比如观察 ，发现分子和分母的变化规律等。需要强调的是，生活中的随机观察与定向的数学观察，对学生的经验积累而言，是同等重要的。若认为只有“数学地观察”才是数学学习所必需的，这就与“做数学”的本意相去甚远了。

操作。过生日时的分蛋糕、吃饭时的分筷子、认识分数时的折纸、认识长方体时的制作模型……这些都是操作类的活动，是学生数学学习的必要基础。同样，我们也不应轻视幼儿园时期的“玩”：滚弹珠，可以增进对球体特性的理解；搭积木，可以培养其空间观念；玩堆沙，可以感受对体积的认识……它们都会对孩子的数学学习产生积极影响。操作，不仅伴随着思维，而且能丰富学生的表象认识，增进学生对数学的理解，是其日后在数学学习时进行归纳、概括、抽象的重要基础。

实践。去商店购物的体验，出行时的租车、租船、买票活动，看电影时的座位排列等，学生在实践中会自觉地将数学与生活间的联系打通，真切地感受到数学的魅力与价值，这些不仅影响着数学学习时的心向，而且也能促进学生对学习“有价值的”数学的理解。

“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号，总是运用模糊的表象进行思考。”很显然，学生的数学学习必须先积累大量的感官经验、操作经验，然后经由多个层次的“抽象”，数学学习这一心智活动才得以完成。而若不能以丰富的表象做支撑，数学学习就成为无源之水、无本之木。

策略二：引导学生独立思考、合作交流，优化其策略，增进其方法性经验

在《数学课程标准》中，关于学生如何获得数学思想有这样的描述：“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”它表明了“探索”在数学学习中的重要性。所以，在渗透基本数学思想的过程中，教师要创设富有挑战性的问题情境，让学生在探索中领悟蕴含于数学之中的种种思想，切忌生搬硬套、和盘托出。

探索发现。从本质上讲，数学思想不是被我们命名之后才产生的，而是因为其推动了数学的产生，并贯穿于数学发展的始终，人们依据其重要性和恒定性逐步发现并抽象、总结出来的。所以鼓励学生用探索方式进行数学学习，有利于帮助其更好地还原和体悟当初数学思想产生的背景及过程，避免采用“掐两头，烧中段”的学习方式，让学生对数学思想产生的必要性和适切性有更为深刻的认识。即便他们无法像成人那样清晰地表达出数学思想的名称及内涵，但各种思想本身所具有的独特力量已经被学生所感悟了。例如，在教学《分数的基本性质》时，可以有意识地让学生经由“商不变性质”，通过类比，提出猜想，进而引导学生从多个角度加以验证，“找到”分数的基本性质，再通过多个层次的变式练习，发展学生解决实际问题的能力。由于这样的过程充满了探索性，融类比、归纳、演绎等多种数学思想于一体，让孩子真正经历、体验、再发现，丰富了学生的探索经验，使其真切地感悟到数学思想的力量。

化隐为显。以定义、概念、定理、法则、公式等为要素构成的数学逻辑体系中隐含着数学思想，只是这一逻辑体系由于经过了高度的归纳、概括，掩盖了数学思维的真实状态，掩盖了数学思想产生的原始过程，学生所看到的只是数学研究的结果。这些被“掩盖”的过程如何挖掘出来？“数学对话”不失为一种好方法。亦即通过类比、隐喻、假设、倾听和深度谈话等，使隐性的数学思想得以显性化。

师：口袋中有两只白球和两只黄球，如果摸10次，白球和黄球各会被摸到多少次？

生1：白球5次，黄球5次。

生2：我觉得不一定，但我也说不准哪种球会被摸到多少次。

师：那我们就来做个实验，看看结果如何？

（生实验，各组得到不同的数据。）

师对生1：你的实验结果与你的猜想一样吗？

生1：不一样，黄球被摸到了6次，而白球只被摸到4次。

师：真奇怪，是球不听话吗？

生3：我知道，虽然白球和黄球一样多，但是我们摸的时候没有看，所以每一次既可能摸到黄球，也可能摸到白球。

师对生1：你同意他的看法吗？

生1：我同意，就是实际摸到的与我们心里想的可能不一样。

师：如果让你再摸一次，你觉得摸到的是白球还是黄球呢？

生1：都有可能，因为球是记不得它被摸了几次的。

恰当地运用明确的语言及其他符号表征方式来引导和支持学习者的理解，使显性知识的学习根植在默会的理解中，使隐性的知识以适当的方式得以表征，从而可以在交流和共享中拓展理解。讲故事、举例子、打比方、辩论等，都是使隐性的数学思想得以显性化的重要手段，它们的作用是，将说不清、道不明的数学思想，附着于具体的情境之中，用类比、隐喻、比方的方式让学生来感悟，从而达到很好的渗透效果。上述简短的对话中就蕴含着随机的思想、变与不变的思想等，学生先行暴露思维，教师运用“牵引术”，通过归缪的方式，让学生感悟出其中的道理。这样就能寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中，于教学问题的解决之中了。

合作交流。我们不应把学生同伴间的合作与交流简单地看成是学习目标达成的途径，而应把它看做是儿童自身的内在需要。这是因为，儿童的话语系统是相通的、思维方式是对接的、行动模式是相近的，所以，儿童喜欢同伴间的对话远远胜过喜欢老师的讲解。特别是，在对话的过程中，他们会暴露出自己的真实想法，展示出思维的过程，教师据此可以了解和判断学生的生活经验和认知经验处于何种水平，由此展开的教学才是真正“从学生的实际出发的”。

师：小明看了一本书的，小红看了一本书的 ，他们俩谁看的页数多？

生1：小明看得多，因为 大于 。

生2：我也觉得小明看得多。我们通过折纸可以发现，一张纸的 比 大。

生3：我不同意，如果两张纸不一样呢？如我这张大纸的 就比他那张小纸的 大。

生4：我发现还可能相等，比如小明看的书一共有12页，小红看的书有16页，那么，他们看的页数都是4页。

师：真有意思，谁能把刚才的讨论做个总结呢？

生5：我发现分数的大小比较和整数的大小比较有时是相同的，有时是不同的。相同的是，如果只是单纯的两个数，都可以直接比较大小；不同的是到了具体的问题里，整数能直接比较大小，但分数就要看是谁的几分之几了。这道题里，三种情况都存在，可能是小明看得多，可能是小红看得多，还可能两人看得同样多。

从这段对话中我们不难看出，学生的数学学习是依据经验进行的。起初的经验，来自于整数的大小比较的规则，但是，随着交流和对话的深入，他们会发现并不是所有的经验在任何情况下都畅通无阻的，这时就要解构掉原有的“认知图式”，在新的情境中重新建立起新的认知。这种从旧有经验—解构经验—重新建构认知的过程，可以极大地推动学生思维的发展，使其感悟到数学思想的独特魅力。

策略三：引导学生学会概括，积极反思，培养其内隐能力，增进其“数学地思考”的经验

概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生所掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就无法实现思维的“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现。

引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。如果学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回顾和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。如果学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，探索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会了“数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化、概括化，而这正是促进学生数学素养形成的有效途径。

概括能力和反思能力，都带有很强的个体特征，属于学生的内隐能力。教学无法也不必让所有的学生达到一致的水平。但是，通过传授相关的策略，可以帮助学生在原有的基础上得到适当的提高。为此，教师要帮助学生反思他们自己在学习活动中的缄默知识，使他们学会不断地从自己显性的观点和想法中分析自己所使用的那些缄默的认识模式，在“数学地思考”中提高他们元认知的水平，提高对自己的学习行为进行自我分析和自我管理的能力。

重视与不重视概括与反思能力，反映在教学形态上是很不一样的。例如，分类是一种重要的数学思想，分类的过程就是对事物共性抽象的过程。教学过程中，如果只是让学生按照某种标准，学会给物体分类，这便是停留在了认知层面上的教学了。如果引导学生不断去反思：何时需要分类，如何分类，怎样确定分类的标准，同时还引导学生反思自己是怎样发现问题、分析解决问题的，在这一思维过程中又是怎样应用数学思想方法的，用了哪些基本的思考方法和技巧，积累了哪些有益的成功经验，怎样去拓展和延伸，这便上升为思想层面的教学了。在这一过程中，学生得以“回头看”，审视自己的思维过程，梳理这一过程中累积的经验，进而自觉地运用学到的基本思想方法去解决实际问题。

布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。教学提供的数学活动应该尽可能遵从学生“已有经验到直接经验，再过渡到经验的符号性表象”的经验获得过程。笔者提出的“做数学”的构想，正是基于布鲁纳的这一思路。但是，由于我们长期执用接受式教学，对“做数学”的探索还远远不够，愿在“课程改革再出发”的背景下，让“做数学”的理念能引起更多人的关注，让“做数学”的研究更趋深入。