利用图式教学手段，谈如何教授“相交线与平行线”

徐萍

[摘 要] 在教学“相交线与平行线”单元时，可以借助概念图辨析概念之间的差别，构建思维导图静态化呈现思维过程，整合章节教材，可以利用关系图梳理知识间的内在脉络. 通过图式教学，能有效提高学生的推理能力.

[关键词] 图式教学；概念图；思维导图；整合教材

苏教版七年级下册“相交线与平行线”的教学内容，相比学生以前学的简单的相交线的认识与几何图形的初步知识，对学生的学习要求有较大的提高，在内容呈现上既注重直观性，又充分体现了认知过程，给学生提供了探索交流的空间. 教学“相交线与平行线”，担负着一些技能的培养、能力的训练，既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的. 这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础. 所以，在这个阶段的教学中，教师可以尝试采用图式教学模式，即借助概念图、思维导图等来帮助学生辨析知识点之间的关系，达到由此及彼、举一反三的功效，从而使课堂教学收到更加良好的效果. 本文试图从利用图式教学手段入手，以教授“相交线与平行线”为依据，简单地阐述自己的一些看法.

借助概念图，辨析概念之间的差异性

概念图的创始人Novak教授认为：概念图是某个主题的概念及其关系的图形化表示，是用来组织知识的工具. 在数学教学中，概念图通常将某一数学教学主题的有关概念置于圆圈或方框之中，然后用连线将相关的概念和命题连接，同时在连线上标明两个概念之间的意义和它们之间的关系. 在“相交线与平行线”这一主题内容的教学中，教师可以借助概念图以视觉化形式呈现各种表示两角关系的概念，以及它们之间的联系，突出知识结构的细微差别，从而便于区别、理解.

在教授主要内容是相交线所成的角──邻补角、对顶角时，学生已经掌握了余角、补角的概念，但是，如何让学生充分理解与辨识它们与新概念之间有怎样的联系呢？根据教学内容和它们之间的联系，教师可以设计下面这样的图（图1）.

教师指导学生观察图1，学生容易发现“邻补角”与“补角”的异同点，能够识别命题“邻补角互补”“互补的角是邻补角”孰真孰假. 学生也可以感受到教材难度的渐进性. 从单纯的研究数量关系，过渡到对两角之间“关系”的全面认识. 在本节内容的教学中，应重点强调邻补角、对顶角位置上的特征，设计一些易混淆的命题让学生辨析，如“两个角互补且有公共顶点、公共边，那么这两个角是邻补角”“相等且有公共顶点的两个角是对顶角”. 熟悉对顶角、邻补角的共同特征则为区别同位角等奠定了基础.

在教授认识同位角、内错角、同旁内角时，教师可以设计区别五种角的关系的概念图，形成知识网络，让学生方便去认识与理解（图2）.

这幅概念图有两方面的优势：

（1）“识别码”是分类的重要依据. 当相交的直线只有3条时，学生容易辨认角的关系，但随着条数的增加，图形逐渐变得复杂，就会出现混淆或者找不全某种关系的角.

例如：如图3，在△ABC中，直线BD与边AC交于点D，图中有同旁内角吗？如果有，请找出所有的同旁内角；图中有同位角吗？

识别三线八角的“识别码”是截线，图中共有4条直线. 在寻找同旁内角时，可以把这4条直线分别当成截线，然后找出截线同侧，被截线之间的角，即可不重不漏地找出所有的同旁内角. 如果不强调两种“识别码”之间的区别，学生在练习中，容易把∠ABD和∠ABC看成同位角. 他们会把直线AB看成截线，把直线BD，BC看成被截线，认为这两个角在截线同侧，被截线同方向. 通过图2，学生就能发现“问题”，这两个角居然具备对顶角、邻补角的“识别码”：公共端点！所以它们不是同位角.

（2）理解同位角、内错角、同旁内角只表示特殊的位置关系. 在学习命题时，学生受“对顶角相等”定理的负迁移，认为“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”都是真命题. 通过图2的比较，可以让学生对概念理解得更加深刻，不被表征的相似所迷惑，从内在逻辑关联性上理解知识.

建构思维导图，直观呈现思维的开放性

在数学学习与教学中，思维导图让学生把要学习的数学主题用方框或圆圈围起，以画图的形式来表达自己数学主题的思想. 数学主题的内容可以用关键词和图象来表示，把中心主题作为起始节点，放射状地画出多条射线，每条射线的末端是和主题相关联的次级节点（次主题），而每一个次级节点可以成为一个新的中心主题，以相同的方式继续向外发散，产生更多的思维节点.

本章教学的重点有两个，一个是垂线的概念、判定与性质，另一个是平行线的概念、判定与性质. 这两个知识点是“图形与几何”领域内的最基础的知识，也是学生以后学习几何知识的基本工具. 学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识，因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的.

在教学“垂线的判定”时，教师可以设计如下开放式的思维导图，让学生主动探究，如图4.

学生总结出判断两直线相交得到的夹角为90°的方法各异，有对顶角互补、邻补角相等、夹角所在的三角形另两个角和为90°等. 教师要积极引导学生根据自己的想法绘制思维导图，因为学生在绘制思维导图的过程中，会不断产生新的发现和创意，这种发现能激发学生的探究能力和创造性，变被动学习为主动学习.

在教学“平行线的判定”时，为了循序渐进地提高学生的推理能力，教师可以尝试让学生自主建构思维导图，将说理的过程视觉化、结构化. 基于建构垂直判定的思维导图的经验，学生就能顺利地设计出自己的思维导图.

平行线的性质与判定（图5）：

平行线的判定知识点之间的关系（图6）：

图式的融合（图7）：

很多时候，一种单一的图式虽然能表达教学主题内容，但是还是不能做到简单、明了. 这时，可以把几个图或图与文字融合到一起，形成融合式的图. 如果说，图6是学生对平行线的判定思维导图（图4）的简单模仿，那么图7就是对知识点之间关系融会贯通后创造性的神来之笔. 这种创造性体现在思维导图在表现形式上的创新，由树状发散结构转变为循环互生的关系链，改变了图6单线思维的状态，启发了学生的联想力和创造力.

整合教材，图示章节之间知识的延展性

教材是课堂教学的蓝本，但是教师在教学时不能照着这个蓝本照本宣科，否则就会使教学陷入被动的说教困境中. 教师要善于根据教学内容和学生接受知识的需要，将教材这个“原著”蓝本创编为教学“演出”的“剧本”，也即是，教师要对教材内容进行重新优化与整合，目的是着眼于学生数学思维能力的提升，提高课堂教学的质量. 苏教版七年级下册教材所包含的内容依次为相交线与平行线、实数、平面直角坐标系等，教师可以根据实际教学需要，整合教材内容，改变教学的顺序：在相交线与平行线这个单元之后紧跟平面直角坐标系单元，因为这两个单元在知识点之间有着密切的联系，整合会使逻辑关系更清晰（图8）.

教学顺序的调整，可以使学生在学习平面直角坐标系单元新知识的同时，对相交线与平行线单元的核心概念有更深刻的认识，有利于渗透数形结合思想.

总之，利用图式教学手段，可以用教师完全呈现的概念关系图，也可以由学生自主建构思维导图. 借助图式教学，在分析与建构的过程中，可将分散的数学知识点系统化，抽象的数学原理形象化，复杂的思维过程静态化，从而极大地提高学生的推理能力，为实现由实验几何到论证几何的过渡打下基础.