一则典型个案引发的思考

李祥

[摘 要] 对于一道数学中考压轴题，文章分析了某个学生的解答情况，根据其解答首先进行了思路的完善，猜测了扣分的可能，进而探讨了造成这种“解题能力强，实际得分低”典型现象的原因，从“费时少、效果好”角度根据教师自己的教学经验提出了四点教学建议.

[关键词] 思考；教学研究

本文源于两位数学老师的多次交流，一位参加了中考命题，另一位则是文中小孩家长，研讨的目的是试图弄清扣分缘由，为自己以后的教学服务，避免学生再出现类似的问题，同时期望能够引发更多教师的思考.

情况介绍

思路分析

仔细分析其思路，可知主要问题在于她默认了所画的弧与x轴有2个交点. 事实上，交点可以只有1个. 当点F与点A重合时，不存在“角”与“三角形”，更谈不上用“等边对等角”来推理，②处的推理不成立，当然③处的理由也需要相应修改.

该思路稍做完善即可，完善后的思路为：以点P为圆心、PA长为半径画弧.

（1）若PA⊥x轴，此时，圆弧与x轴只有一个交点A. 因为点P为正方形ABCD对角线的交点，所以PB=PA，∠BPA=90°. 因为∠PAO=90°，∠AOB=90°，所以∠OBP=90°. 所以PB⊥OB. 因为PB=PA，所以点P在∠AOB的角平分线上.

（2）若PA与x轴不垂直，则P点到x轴的距离小于PA，从而圆弧与x轴有两个交点，设另一交点为F，不妨假设F点在A点左侧. 以下同“某生的主要思路”.

注意分析该生的思路，我们感觉到，她体现出来的解题能力跟实际解答本题所需要的能力相比超出不少，然而其得分大概只能得到满分的一半，所以，在我们感到可惜的同时，更多的应该是深思为什么会造成这种情况.

原因猜测

直接判断造成这种情况的原因比较困难，于是笔者考虑换个角度来分析，即如何才能得到比较简洁的解法.

（1）联想原型题. 考试时能够想起原型题，进而进行思路的迁移，问题往往能很快得到解决. 泰州地区统一使用的是江苏科技版实验教材. 教材九上第27页第12题（如图3，∠AOB=90°，将三角尺的直角顶点落在∠AOB的角平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于点E和点F，试证PE=PF）是第（2）小题的原型题，解答的思路差不多. 顺便指出的是，九上39页第15题（原题较长，题意为：固定图3中点P的位置，把三角尺绕点P旋转，旋转过程中图形OEPF的面积是否变化，判断并证明结论）可以看成是第（3）小题的原型题，并且第（3）小题的解题思路也比较简单：易知四边形OAPB的面积等于边长为h的正方形的面积h2，由于△ABP的面积不变，所以△AOB的面积决定了h的大小，据此探讨即可. 阅卷中发现有考生采用该思路解答，此处略.

（2）分析题型特征. 整道题为运动型综合题，如果考生关注的是“运动变化”，那么不妨“做一做”（剪一正方形小纸片，让它按要求转一转），便容易发现特殊位置（四边形OAPB为正方形）或者极端位置（B点与O点重合或△AOP为等腰直角三角形）. 如果考生关注的是“综合题”，那综合性试题中各个问题的设置往往是由浅入深、层层深入的，本题中第（1）小题即是特殊位置，充分利用即可. 对于第（2）小题，发现特殊位置或者极端位置是能够简洁得解的一个关键. 在此基础上，应用转化思想将一般情形转化为特殊情形来解决是第2个关键. 相应的辅助线为：过点P分别作OA，OB的垂线段PM，PN，证明△AMP≌△BNP，或者过点P作OP的垂线，与OA相交于点G，证明△AGP≌△BOP.

（3）尽可能多地获得信息. 观察、分析、推理时获得的题目信息越多，往往思路越简便. 本题中∠AOB=90°，因此如果OP平分∠AOB，那么∠POB=45°，反之也成立. 注意到∠PAB=45°，从而只要说明∠POB=∠PAB即可. 联想到同弧所对的圆周角相等，从而只要说明P，A，O，B四个点在同一圆上. 注意到∠BPA=∠AOB=90°，取AB的中点T，连结PT，OT，易知PT=AT=BT=OT，从而以T为圆心、AT为半径作圆，必同时过O，B，P三点，问题巧妙得解（阅卷中发现有考生采用该思路解答）.

由此可见，第（2）小题要简便解决，有多种途径，即使考场中因为心理因素的影响，可能影响发挥，但是只要考场中能够利用其中一种，便会得到巧妙解法而不至于吃力不讨好.

思维提升

如果说，上面的分析为获得简便的思路提供了某种可能，随之而来的问题便是：怎样才能放大这种可能？放到平时教学中来看待该女生的情况可能价值更大一些.

怎样才能使付出减少一些、收获更多一些呢？

笔者的看法是从提高思维的预见性方面着手训练. 所谓思维的预见性，是指对将要采取的思路其可行性进行直觉或者经验方面的快速评估. 评估内容为：是否有思路？如有思路，思路会不会比较烦琐？评估后的对策为：如果感觉没有思路，不要尝试解答，或者虽有思路但感觉思路可能比较烦琐，也不要急于解答，而要继续分析与思考，直至发现有较简便的思路才开始着手. 那么怎样的思路会是比较简便的呢？对于几何试题，一般来说，如果能够快速建立起已知条件和要求解的问题（或者证明的结论）之间的联系，那么思路往往是比较简便的. 或者，思路能够充分利用已知条件，或者涉及的元素（线段或角等）其“身份”比较特殊，同时在几个相关联的图形中出现，那么思路通常也比较简便.

探索表明，经过一段时期师生的共同努力，学生思维品质会有较大程度的改善，也容易形成良性循环.

教学建议

该生的情况比较有代表性，作为老师，需要思考的地方比较多，为此提几点建议，供教学时参考.

建议1：重视对学生的心理疏导. 笔者注意到，每年中考基本上都有学生因为考试中过于焦虑而影响水平的发挥，因此，降低部分学生的焦虑程度值得重视.

建议2：重视发挥教材的作用. 教材是命题的主要依据，很多中考试题都能从教材中找到“影子”，因此总复习中要重视对教材中例、习题的变式与延伸，而实际上，有相当部分老师复习时，只顾围着各地中考试题转，费时费力且效果并不好.

建议3：要努力提升指导水平. 中、高档中考题一般为原创，教师只有提高学生的思维能力才能以不变应万变. 显然，这需要老师深入研究，注重解题经验的积累与提升，重视数学思想的感悟、运用，切实提升指导水平. 在前面思路的分析中，笔者抛砖引玉渗透了研究的部分观点，比如在平时教学中操作性试题要让学生动手做一做、量一量，再如解答时要尽可能多地捕捉题目信息，以简化运算、优化思维，期望读者能提供更多、更有效的研究成果.

建议4：探索思维预见性培养的有效方法. 对于思维预见性的培养需进行比较深入的研究，比如有哪些切实可行的措施；锻炼方法跟具体数学内容是否有关，如有，是怎样的关系；能否缩短锻炼的时间.