HPM与数学教学中的“再创造”

郑 玮，郑毓信

（1.南京航空航天大学 人文与社会科学学院，江苏 南京 211106；2.南京大学 哲学系，江苏 南京 210093）

1 从数学史在数学教学中的渗透谈起

相信对于大多数数学教育工作者、包括一线教师而言，HPM已不再是一个十分陌生的名词（从历史的角度看，HPM是“数学史与数学教学关系国际研究小组”（International Study Group on the Relationship between History and Pedagogy of Mathematics）的简称或缩写；但现实中又常常被理解为“数学史向数学教学的渗透”），人们已普遍建立起这样一种认识：数学史对于数学教学具有重要意义.

例如，以下就是在这方面达成的一个共识：由于个体的发展往往重复种族发展的历史（这就是所谓的“个体发展重复律”（ontogenesis recapitulates phylogenesis））.因此，很好地了解数学史有助于教师更好地组织相关内容的教学，包括依据数学史上的典型错误即可预见到现时学生在学习这些内容时可能出现的错误，进而可以采取适当的措施予以避免或纠正.另外，介绍历史上一些著名数学家曾经历的曲折过程，显然也有助于增强学生在数学学习上的自信心……

然而，就这方面的工作而言，还必须超越上述“常识性认识”并不断深化自己的认识.这不仅是指研究者应当更为深入地认识数学史向数学教学渗透的意义，而且也是指研究者要以此为依据很好地解决“如何渗透”的问题，因为，只有这样，才不会始终停留于简单的“外插”与外部“组合”等作法，也才有可能彻底改变“高评价、低应用”这样一种似乎完全无可奈何的现象.即只是口头上肯定数学史向数学教育的渗透，在实际教学中却很少能够看到这方面的实际举动.

具体地说，上述“常识性认识”的一个主要不足在于，其主要是从知识（和技能）的学习这一角度进行分析.与此相对照，只有联系数学教育的基本目标、特别是“帮助学生学会数学地思维”与“帮助学生养成一定的情感、态度与价值观”这样两个深层次的目标，才能更为深入地认识数学史向数学教学渗透的重要性.这也就是指，尽管在此论及的是数学史向“数学教学”的渗透，但还需要超出狭义的数学教学，并从数学教育的角度，特别是联系数学教育的“三维目标”去进行分析思考.

从数学教育的角度看，与数学学习直接相关的“情感、态度与价值观”的培养在很大程度上可被理解成如何能够通过教师的教学引导学生进入“数学文化”[1].以下就是关于“数学文化”（乃至一般文化）的一个具体解释：所谓“数学文化”是指人们通过数学活动（包括数学学习）所不知不觉形成的东西，包括思维方式与行为方式等；进而，如果说一定的行为方式可以被看成相应文化的“显性成分”，那么，作为“隐性成分”的价值观念则更加重要.

上述分析十分清楚地表明了这样一点：数学（特别是，纯粹的数学知识）不应等同于“数学文化”；进而，如果教师在教学中始终未能在后一方面作出自觉的努力，包括采取适当的教学措施，那么，所期望的“情感、态度与价值观的培养”就不可能真正得到落实.

另外，从同一角度去分析也可看出：尽管强调“过程”与“结果”的对立确实从一个角度表明了究竟为什么要高度重视数学史向数学教学的渗透，但相关的认识又不应停留于知识（与技能）的掌握这样一个层面，甚至也不能满足于清楚地指明数学史的渗透有利于将“冰冷的美丽”重新转化成为“火热的思考”，即有利于学生学会数学地思维，而还应当看到所说的渗透直接关系到了具体数学知识的学习如何能对学生养成一定的情感、态度和价值观发挥重要的作用.例如，注意“过程”而不是仅仅着眼于“结果”，显然也关系到了数学观的培养，特别是，有利于学生更好地认识数学的动态性质和（拟）经验性质，包括学生理性精神的培养（例如，学生不仅应当知道相应的算法，也应清楚地知道这种算法的合理性），乃至逐步养成勇于坚持、能承受挫折等优良品格.

以上论述直接关系到教师究竟应当如何去实现数学史向数学教学的渗透，这就是指，教师不应“就事论事”地去思考如何将数学史渗透到数学教学之中，而要从数学教育的“三维目标”这一高度进行思考，即必须依据该标准具体地去思考和判断究竟什么样的教学措施才是真正合适的.

针对教师在教学中应用数学史的情况，台湾师范大学的洪万生教授提出可以区分出以下3个不同的层次：（1）说故事；（2）在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓展学生的视野，培养全方位的认知能力和思考弹性；（3）从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想[2].显然，其中的第二层次大致相当于“帮助学生学会数学地思维”（顺便提及，与“帮助学生学会数学地思维”相比较，“通过数学帮助学生学会思维”可以说是一个更为合适的主张）；然而，如果更加突出数学教育“三维目标”，关于“第三层次”则可以作出如下更为恰当的表述：在此所需要的并非外部的“注入”，而是“深入挖掘相关内容的文化意义，充分发挥历史材料的文化价值”.

进而，也正是从同一角度去分析，相对于“数学史向数学教学的渗透”这一提法而言，强调“数学史与数学教育的融合”可能更为合适.因为，正如上面提到的，在此需要的并非是“外部”的渗透，而是如何深入地去挖掘与认识相关内容的“内在价值”（包括思维价值与文化价值等），并能在教学中很好地加以落实.当然，作为问题的另一方面，研究者又要清楚地看到，在数学与数学史之间的确存在一定的距离或差异，特别是，它们所采取的研究视角是很不相同的（或者说，这两者可以看成属于不同的研究范式，并具有完全不同的性质）.数学所追求的主要是简单性、普遍性与统一性；历史的研究则更加关注对象的复杂性、特殊性与具体性；而且，所说的差异又不可能通过所谓的“渗透”简单地得以消除，这在很大程度上可以看成后一方面工作所面临的一个巨大障碍.

值得指出的是，在一些学者看来，两者的差异甚至构成了“一个难以逾越的障碍”[3]；但这恰又进一步凸显了深入研究如何具体实现所说的“融合”这一问题的重要性.

当然，在具体论及该问题之前，又要清楚地看到：“数学教育”不应等同于“数学研究”，特别是，应当以数学教育的“三维目标”作为判断相应教学恰当性的主要依据.更进一步说，上面的论述事实上已清楚地表明：数学教学中所追求的不应是真实历史的简单重现，而应是历史的适当重建，这就是指，数学史的适当“改造”应看成是教学中很好实现“数学史与数学教育的融合”一个基本途径.

后一论述与弗赖登塔尔关于“再创造”的论述十分一致.以下就从“数学史与数学教育的融合”这一角度对弗赖登塔尔的论点做出进一步分析.

2 关于“再创造”的若干思考

前面已经提及，这是著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔所倡导的一个观点：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而应是经过改良、同时有更好引导的历史过程.”[4]上述论点已获得了人们的普遍赞同，更有不少学者、包括中国学者对此作了进一步的阐述和说明（这方面的一个较新工作可见文[5]）.对于这些工作大家应持肯定态度；但就现实而言，仍要注意防止各种简单化的理解和误读.

现时，同样也可以看到这样一种简单化的理解，即满足于从“过程”与“结果”的对立这一角度来理解弗赖登塔尔所倡导的“再创造”（reinvention）.与此相对照，应当更加强调这样一点：“再创造”的核心在于“再”；这也就是指，教师在教学中不应简单地去重复当年的真实历史，而应致力于历史的重建或重构（reconstruction）.另外，又如弗赖登塔尔本人所明确指出的，这里所说的“再创造”应是“教师指导下的再创造”（guided reinvention），这就是说，无论所采取的是以讲授为主的教学方法，还是更加注重学生的主动发现，教师都应当发挥重要的指导作用.

进而，由上面的论述可以引出这样一个结论：如果教师本身缺乏“再创造”的能力，就不可能很好地去指导学生作出“再创造”.当然，作好这一工作的一个重要前提就是真正弄清究竟什么是这里所说的“再创造”的具体涵义，因为，如果对此始终缺乏清楚的认识，那么，无论就学生、或是教师自身而言，“再创造”就只是一句空话，不可能真正得到落实.

但是，对于该问题不已有了明确解答吗，即所谓的“再创造”主要就是相对于真实历史而言的，也就是明确提倡“历史的必要重构”？正是针对这一疑惑，在此有必要特别提及这样一点：这正是科学（数学）哲学（更为一般地说，是“科学论研究”（Science Study））现代研究的一个重要结论，即对于科学（数学）史事实上可以做出多种不同的重构.

著名数学哲学家、科学哲学家拉卡托斯（I.Lakatos）曾提出一个明确主张，他认为科学哲学研究的主要任务就是“科学史的理性重建”：“科学哲学家提供规范方法论，历史学家据此重建‘内部历史’，并由此对客观知识的增长作出合理的说明.”[6]相似地，20世纪80年代以来迅速发展的“科学知识社会学”（SSK）则提出应当努力实现“科学史的社会重构”，因为，在SSK学者看来，社会因素正是决定科学发展最为重要的一个因素.正是基于这样的认识，SSK的主要代表人物之一，夏平（S.Shapin）就曾将自己的一篇论文直接命名为“科学史及其社会学重构”[7]，从而与拉卡托斯的著名论文“科学史及其合理重建”[8]构成了直接对立.

应当强调的是，关于历史重建的不同主张事实上集中反映了两者对于科学本质的不同看法.在拉卡托斯看来，科学无疑是一项理性的事业，而所谓的“理性重建”则是指如何通过这一工作使科学的发展真正成为可以理解的，或者说，是有其一定合理性的.依照夏平等人的观点，社会因素则是决定科学发展的首要因素，从而，真正需要的是如何通过科学的“社会重建”清楚地去揭示这样一个长期为人们所忽视的事实.另外，除去上述的重要区别外，还要看到在这两者之间事实上也存在一定的共同点，在此特别要提到他们的一个共同立场：正如不存在任何没有受到理论污染的经验事实，完全中性的历史事实也不存在，因为，无论自觉与否，人们总是通过有色眼镜看待世界和历史的.

依据上述分析，相信人们可以更好地理解为什么应当突出“再”这样一个关键词；进而，还要清楚地看到，历史的“重建”总是相对于一定目标而言的，从而，教育中关于“再创造”的强调就不能脱离基本教育目标的分析，即应联系数学教育的基本目标更为深入地去揭示这里所说“再创造”的具体涵义，从而在教学中可以对学生的“再创造”作出适当的指导.

更为具体地说，前一节中关于“三维目标”的分析论述表明了：在数学教学中需要明确倡导数学史的“方法论重建”与“文化重建”.

就“方法论重建”而言，主要是指如何通过方法论的重建使得相关内容真正成为可以理解的、可以学到手和可以加以推广利用的，从而将数学课真正“教活、教懂、教深”.“所谓‘教活’，是指教师应当通过自己的教学活动向学生展现‘活生生的’数学研究工作，而不是死的数学知识；所谓‘教懂’，是指教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；所谓‘教深’，则是指教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生领会内在的思维方法.”[9]

“文化重建”的基本涵义则在于：应当跳出“内史”，并从“文化史”，即数学与整体性文化的关系这一角度去展现数学的历史；而且，不仅需要清楚指明数学对于个人发展乃至整体性社会进步的积极意义，也应清楚地看到其局限性，乃至可能的消极影响[10].

以下论述可以帮助大家更好地理解这里所说的“文化重建”的涵义，尽管其直接涉及的只是科学教学，而不是数学教学.作为美国新一轮科学课程改革的主要指导文件之一，《面向全体美国人的科学》明确提出，应当通过科学教学帮助学生养成这样一些观念：（1）本体论上的实在论立场，即应当明确承认独立的客观世界的存在性.（2）认识论问题上的“易谬主义”（fallibilism），从而既不同于相对主义的取消性立场，也不同于认识论上的绝对主义.（3）对于科学发展连续性的确认（durability）.（4）理性主义，同时又应注意与所谓的“老的理性主义”划清界限——后者的一个主要特征就是认为科学在任何时候总是合理的，从而没有给非理性留下任何余地.（5）确认科学方法的多样性：不应认为只存在唯一的科学发现方法，而应突出强调科学活动的创新性——显然，这更为清楚地表明了在前述的理性主义与“老的理性主义”之间所存在的重要区别.（6）坚持对于科学与非科学的明确区分.（7）预见性.这是科学理论所应满足的一个重要条件，即应当能够揭示出一些至今尚未被清楚地认识到的事实.（8）客观性：科学家应当保持对于各种偏见或成见及其对于科学活动影响的高度自觉性.（9）应当清楚地认识科学活动的社会性质，但又不应完全为研究基金等外部因素所支配.这也就是所谓的“温和的外部论者”（moderate externalism）.（10）在科学伦理问题上的自觉性，包括科学道德、以及从社会与文化的视角来审视科学的“善”与“恶”[11].

当然，就上述“重建”的具体工作而言，还要清楚地看到这样一点：教师既不应脱离学生的现实情况去进行教学，也不能因尊重学生在学习中的主体地位而完全放弃了教学工作所应发挥的指导作用.这就是弗赖登塔尔何以在“再创造原则”之外，又专门提出了“数学现实原则”和“数学化原则”等数学教学原则的主要原因.此外，也可以从这一角度去理解弗赖登塔尔的以下论述：“指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间在达到一种微妙的平衡.”

更为深入地说，这就是研究者在积极实施“再创造”这样一个教学思想和教学方法时所应注意解决的一些问题.由于对于这些问题的全面分析已经超出了文章的论述范围，在此仅限于指明这样两点：第一，应当认真研究“再创造”的适用范围，特别是，这一方法究竟适用于什么样的题材内容？对于哪些内容需要采取较为慎重的态度？第二，更为一般地说，面对任何一个新的理论主张或教学思想，教师都应当深入思考以下几个问题，才能切实防止对于时髦潮流的盲目追随：什么是这一理论或主张的实质内容？在现时为什么需要对此予以特别关注，或者说，这一理论或主张究竟有哪些现实意义？什么又是其固有的局限性，特别是，在教学中应当如何防止可能的片面性或消极后果？

最后，需要强调的是，以上主要是以教师作为直接对象进行分析论述的，因为，这正是研究者在这方面的一个基本认识，尽管弗赖登塔尔所强调的是“学生在教师指导下的再创造”，但如果相关教师对于“数学史与数学教育的融合”的主要内涵与基本途径始终缺乏清楚的认识，那么，这显然不可能成为教师的一种自觉行为，也不可能真正地得到落实.

[1]Bishop A.Mathematics Education in Its Cultural Context, Classics in Mathematics Education Research [C].T.Carpenter，NCTM，2004.

[2]洪万生.HPM随笔（一）[J].HPM通讯，1998，1（2）：1-4.

[3]Whitaker M.History and Quasi-history in Physics Education [J].Physics Education, 1979, (14): 108-112.

[4]Freudenthal H.Phenomenology of Mathematical Structures [M].Reidel, 1983.

[5]蒲淑萍，汪晓勤.弗赖登塔尔的HPM及其教学启示[J].数学教育学报，2011，20（6）：20-24.

[6]拉卡托斯.科学研究纲领方法论[M].上海：上海译文出版社，1986.

[7]Shapin S.History of Science and Its Sociological Reconstructions [J].History of Science, 1982, (20): 157-211.

[8]Lakatos I.History of Science and Its Rational Reconstructions [A].In: Worrall J, Currie G.The Methodology of Scientific Research Programmes [C].Cambridge: Cambridge University Press, 1978.

[9]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1990.

[10]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2000.

[11]Matthews M.Science Teaching: the Role of History and Philosophy of Science [M].Routledge, 1994.