同态与不变子群

徐 兰，苏贵福

（1.新疆昌吉学院 数学系，新疆 昌吉 831100；2.北京理工大学 理学院，北京 100081）

对群G的任意一个不变子群N[1]，都可极其自然地得到一个新的群——商群G/N.由此，我们都不会怀疑群与商群具有密切的联系.我们就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理[2].该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位.两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（i）G到有单同态意味着在同构的意义下φ(G)就是的一个子群；（ⅱ）G到有满同态，则意味着就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到有非单非满同态，则在同构意义下意味着G的一个商群与的一个子群一样.为此需要弄清：

（1）每一个同态核[4]都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）

（2）利用自然同态得到：每个同态象都是商群（如何理解？）

（3）子群（不变子群）的同态象和同态完全原象[5]之间的联系.

1 群同态及同态核[6]

2 群的同态基本定理

定理1 设G为群，N是G的任意一个不变子群，那么必有群同态满射φ:G→G/N，其中：φ(x)=xN.

即 φ:G→G/N是一个群同态满射，即G~G/N，或者说，G/N是G的同态象，或者说，G与G/N同态.

由定义1知，自然同态G~φG/N必有同态核，易知，自然同态φ 的同态核恰是N.

定理1表明，群G的每个商群都为G的同态象.而且能够以N为核将这个同态关系表现出来.于是由同态象的意义（传递性）知：G的每个商群G/N都会在某些方面有些像G，进而，可由商群G/N的某些性质去推测群G的一些性质.一般来说，商群要比G简单些，（因为G/N是G的元素以N为模归类做成的陪集而形成的群），所以为我们研究G带来方便.

除了上述外，定理1的重要性还在于它具有某些完备性——G的每一个同态象就是G的商群（在同构下）.

按代数的观点，同构的群就是同样的群，因此，定理2表明，群G只能与它的商群同态，或者说，G的任何一个同态象必与G的某个（且能够肯定的指明是哪个）商群一样.另外，上述的定理1和定理2习惯统称为群的同态基本定理.

3 子群与子群的完全原象

定理4 设G~φ,则N=ker(φ).

(1)坌a∈G,φ-1[φ(a)]=aN.特别φ-1[φ(a)]a圳N={e}.

(2)设H≤G,φ-1[φ(H)]=HN,特别φ-1[φ(H)]=H圳N=H.

4 商群的子群以及群的第一和第二同构定理

定理5 设N茳G,那么对于商群G/N而言,我们有

（1）G/N的任一个子群都可写成H/N的形式,其中N≤H.反之,若H≤G且N≤H,那么H/N必是G/N的子群.

（2）H1≤G,H2≤G.且N≤H1,N≤H2,当H1≠H2时,必有H1/N≠H2/N.

（3）设N≤H≤G,那么H茳G圳H/N茳G/N.

证明 （1）由于有自然同态G~μG/N,今取S为G/N的任一个子群.

圯μ-1(S)≤G且N≤μ-1(S)劬H.于是可证H=HN.那么μ(H)=μ[μ-1(S)]=S,又μ(H)=μ(HN)={μ(hn)|坌h∈H,坌n∈N}={μ(h)|坌h∈H}=H/N,所以S=H/N.

反之,若H≤G且N≤H,

所以H=HN,且μ(H)=μ(HN)≤G/N.

但μ(H){μ(h)|坌h∈H}=H/N.所以H/N≤G/N.

（2）设H1,H2如题设,那么

反之,若H1/N=H2/N.即μ(H1)=μ(H2)圯μ-1[μ(H1)]=μ-1[μ(H2)]

即H1=H2

所以H1=H2圳H1/N=H2/N

上述的逆反命题知H1≠H2圳H1/N≠H2/N.

（3）设H茳G且N≤H.圯μ(H)茳G/H，而μ(H)=H/N，

所以H/N茳G/N.

反之若H/N茳G/N.由定理4圯μ-1(H/N)△G.

但μ-1(H/N)=μ-1[μ(H)]，所以H茳G.

第一同构定理:设H茳G且K茳G,若K≤H,那么

若K与H中没有包含关系,则有

且H/K茳G/K(所以H茳G)

另，因H茳G,K茳G圯HK茳G.而H≤HK圯H茳HK.

第二同构定理：设H≤K且K茳G.

那么HK/K.艿H/H∩K.

说明.因为K茳G圯K茳HK≤G,H∩K茳H 所以G~μG/K

故μ(H)=HK/K.

因为H~φHK/K，但Ker(φ)=H∩K

所以H/H∩K艿HK/K.

〔1〕刘绍学. 近世代数基础[M]. 北京： 高等教育出版社，1999.28-32.

〔2〕吴三品.近世代数[M].北京：人民教育出版社,1985.75-90.

〔3〕丁石孙，聂灵绍．代数学引论[M].北京：北京大学出版社出版，2000.35-38.

〔4〕丘维声.近世代数[M].北京：高等教育出版社，2003.50-60.

〔5〕王萼芳. 有限群论基础[M]. 北京： 北京大学出版社，1999.60-65.

〔6〕孟道骥.代数学基础[M].天津：南开大学出版社，2000.45-55.