浅谈质心参考系在二体能量问题中的应用

邱刚

(江苏省海门中学 江苏 南通 226100)

二体问题是质点系问题中最简单的运动情形，对二体问题的研究体现了质点系问题研究的理论方法，是物理竞赛考查的重点内容.在高中物理竞赛力学部分的二体问题中，对同一问题的研究可选用不同的参考系，而选用合适的参考系往往能使物体运动的形式变得简单，研究过程得到简化，便于问题的分析．在质心参考系中对二体问题的研究最为简洁，但在各类竞赛参考资料中鲜有选用质心参考系对二体问题进行研究.现将选取质心参考系对力学竞赛题中二体能量问题进行研究，以体现质心参考系在研究此类问题时的巧妙性．

1 质心参考系的定义及有关性质[1]

1.1 定义

当无外力时，将惯性坐标系平移至质心处称为质心坐标系.

图1

M=∑mi

1.2 有关性质

(1)质心参考系S′中质点系动量总是为零

当无外力时，S′系中，质点系的动量

故S′系是动量为零的参考系．

(2)质点系的动能——柯尼希定理

S系中质点系的动能

S′系中质点系的动能

2 质心参考系在二体能量问题中的应用

以上列举的质心参考系中的几个结论在二体能量问题的分析中尤为巧妙，下面选取3道二体能量问题(在竞赛参考资料中均未选用质心参考系进行分析)，选用质心参考系对问题进行分析，以呈现质心参考系对二体能量问题的分析方法．

(1)解除锁定前瞬间，A,B的速度为多少;

(2)解除锁定后瞬间，A,B的速度为多少.

解析：(1)解除锁定前瞬间，由动能定理有

得

由于轻质弹簧短而硬，在瞬间恢复原长的过程中，只有弹簧的弹力对系统做功，属于内力中的保守力做功W内保=E0，由质心系中的动能定理得

此式也可视为质心系中的机械能守恒定律的应用，弹簧的弹性势能全部转化为物体对质心的动能．

联立以上两式解得

点评：本题是第18届物理竞赛复赛试题第6题去掉最后一问的简化试题.竞赛参考答案是选取地面为参考系,应用动量守恒和机械能守恒对问题进行分析，计算过程较为繁琐，而在质心参考系中同样应用动量守恒和机械能守恒对问题的分析则显得简洁，提高了解题效率．

【例2】[3]质量为m和M的两物块用橡皮绳相连，放在水平台面上，原长为a，当它伸长时，如同劲度系数为κ的弹簧，物块与台面的摩擦因数为μ，今将它们拉开b(b>a)静止释放，求两物块相碰时的相对速度.

图2

物块受到的摩擦力为外力，对系统做的功为

由质心系中质点系动能定理和柯尼希定理得

解得两物块碰撞时的相对速度为

点评：参考书中选用两个物块中的某一物块为参考系，在非惯性系中，将另一物块的运动等效为机械振动对问题展开分析，分析过程较为繁琐.而选用质心参考系，应用质心系中的动能定理和二体问题的柯尼希定理，可使物体的运动过程得到简化，巧妙地解决了问题．

【例3】[4]有三个质量均为m的粒子，粒子1与粒子2中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起(可视为一个小物体)，静止地放置在光滑水平面上，另一个粒子3沿该光滑水平面射向它们．粒子3和粒子1相碰撞并粘连在一起运动后，轻质细线自动崩断，使弹簧释放，三个粒子分成两部分,一部分为粒子2，另一部分为粘在一起的粒子1和3．已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是Ep．为了使被释放出的粒子2的散射角保持在30°之内，求粒子3入射时的动能应满足什么条件．

由系统机械能守恒得

联立解得

图3

图4

点评：本题为第16届全国高中物理竞赛决赛第5题，是典型的二体问题中的散射问题遵循能量守恒和动量守恒，选用质心参考系，极大地简化了散射问题的分析过程，再次显示了质心参考系在二体能量问题研究中的巧妙性．

3 小结

本文首先简要介绍了质心参考系中研究物体运动的几个有用的结论，再将这几个结论应用到二体能量问题的研究中，重点突出了质心参考系在二体能量问题研究中的巧妙性兼重要性.笔者在竞赛教学过程中体会到，许多高质量的竞赛题考查的知识具有大学普通物理背景，但解答过程中所用的数学知识仅限于中学阶段的数学内容，如何用中学数学的方法解决难度较大的物理竞赛题，关键要看问题分析中物理方法的选取，对学生思维能力要求较高，这正是高中物理竞赛的价值取向．因此,如何在物理竞赛中培养学生的思维能力成了竞赛教学中的首要任务.笔者发现，在竞赛辅导中对赛题进行“一题多解”和对一种好的物理分析方法进行“一法多用”是培养思维能力和激发学习兴趣的有效途径．

参考文献

1 周衍柏．理论力学教程．北京：高等教育出版社，2008.112～129

2 第18届全国中学生物理竞赛复赛试题(2001年)含答案，http://wenku.baidu.com/view/93a0171efc4ffe4733 68abc8.html

3 清北学堂物理竞赛模拟题，http://wenku.baidu.com/view/4429e3a10029bd64783e2cfb.html

4 第16届全国中学生物理竞赛决赛试题，http://wenku.baidu.com/view/04fbfe3243323968011c9215.html