弹簧系统几个难点问题分析

2013-01-11徐正恒

物理通报 2013年10期

徐正恒

(衡阳县第一中学湖南衡阳 421200)

弹簧类问题在高中物理中占有相当重要的地位，且涉及到的物理问题多是一些综合性较强、物理过程又比较复杂的问题，从受力的角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量的角度看，弹簧是个储能元件；中学阶段把弹簧看成是不计质量的理想化模型，对其考查主要集中在与其他物体的相互作用及能量转化上，搞清物体的运动情境，特别是弹簧所具有的一些特点，是正确解决这类问题的重要方法.这些问题在力学知识的不同部分和各种不同层次的测试中经常出现，在每年的高考中都有考查.

1 弹簧系统瞬时性分析

高中研究的弹簧都是轻质弹簧(不计弹簧自身的质量，弹簧没有惯性，也不会有动能)，不论弹簧处于何种运动状态(静止、匀速或变速)，轻质弹簧两端所受的弹力一定等大反向.由弹簧弹力的产生条件可知，只有弹簧两端同时受力时，弹簧才能产生弹力.

证明：以轻质弹簧为对象，设两端受到的弹力分别为F1，F2，根据牛顿第二定律，可得F1+F2=ma,由于m=0，因此F1+F2=0,即F1，F2一定等大反向.

1．1 弹簧两端与物体相连弹力瞬间不变

如果弹簧两端与物体相连，由于物体有质量、惯性，其位置在瞬间不会发生变化，所以,弹簧的长度在瞬间不会发生变化，则弹簧的弹力在瞬间不变.

弹簧的两端都有其他物体或力的约束，发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值.

【例1】如图1所示，小球P，Q质量均为m，分别用轻质弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d，e与左边的固定墙相连，静止时细线d，e水平，b，c与竖直方向夹角均为θ=37°.下列判断正确的是

A．剪断d瞬间P的加速度大小为0．6g

B．剪断d瞬间P的加速度大小为0．75g

C．剪断e前c的拉力大小为0．8mg

D．剪断e瞬间c的拉力大小为1．25mg

图1

解析：根据平衡条件由拉密定理可得

所以

Fd=0.75mgFb=1.25mg

剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此，重力和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等，为0.75mg，所以,加速度大小为0.75g，水平向右；剪断e前c的拉力大小为1.25mg，剪断e后沿细线方向上的合力充当向心力，c的拉力大小立即减小到0.8mg，选项C错，所以答案为选项B.

1．2 弹簧一端与其他物体脱离弹力瞬间为零

弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其他物体接触才可能有弹力.如果弹簧的一端与其他物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么，弹簧两端的弹力都将立即变为零.

图2

【例2】质量分别为m和2m的小球P，Q用细线相连，P用轻质弹簧悬挂在天花板下，开始系统静止，如图2所示.下列说法中正确的是

A．若突然剪断细线，则剪断瞬间P，Q的加速度大小均为g

B．若突然剪断细线，则剪断瞬间P，Q的加速度大小分别为零和g

C．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P，Q的加速度大小均为g

D．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P，Q的加速度大小分别为3g和零

解析：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为3mg，竖直向上，剪断瞬间P的加速度为2g，竖直向上，而Q的加速度为g，竖直向下，选项A，B错；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P，Q的拉力也立即变为零，因此，P，Q的加速度均竖直向下，大小为g.所以，答案为选项C.

2 弹簧系统对称性分析

轻质弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子.无论此装置水平放置、倾斜放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下，弹簧振子的振动都是简谐运动.

简谐运动的特点之一就是对称性.振动过程中，振子在离平衡位置距离相等的对称点，所受回复力、位移、速度、加速度大小及振子动能、弹性势能、机械能等都是相同的，且做周期性变化.

2．1 振动位置的对称性

弹簧振子振动时具有对称性，分析时应注意两点，一是抓住平衡位置，二是运用对称特征.

【例3】如图3(a)所示，劲度系数为κ的轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处自由下落，接触弹簧后继续向下运动．若以小球开始下落的位置为原点，竖直向下建立坐标轴Ox，小球的速度v2随x变化的图像如图3(b)所示．其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的曲线，BC是平滑的曲线，则关于A,B,C三点对应的x坐标及加速度大小，以下关系式正确的是

A．xA=h，aA=g

图3

解析：由图3(b)以及公式v2=2gx可知,OA段为直线表示小球做自由落体运动，以后小球在弹簧上做简谐运动至最低点C.A点表示小球刚好接触弹簧，xA=h，aA=g，故选项A正确；B点是平衡位置，满足

κx0=mg

所以有

选项B正确；C点是最低点，根据弹簧振子做简谐运动的对称性可得

选项D正确.所以答案为选项A,B,D.

2．2 物理量变化的对称性

图4

【例4】如图4所示，轻质弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态.

(1)突然将力F撤去，若运动中A，B不分离，则A，B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？

(2)要使A，B不分离，力F应满足什么条件？

解析：力F撤去后，系统做简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单得多．

所以,B对A的弹力为

3 弹簧系统多解性分析

对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧，其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认识，突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用.如当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体的速度最小(为零)，弹簧的弹性势能最大，此时，也是关联物的速度方向发生改变的时刻.若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零.若关联物与接触面间粗糙，物体速度最大时，弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零.若关联物同时处在电磁场中，要注重过程的分析.

两端均有关联物的弹簧，伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能，当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零.若物体再受阻力时，弹力与阻力相等，物体速度最大.针对此类问题，要立足运动和受力分析，在解题方法上以动量定理、动量守恒定律和动能定理等为首选.

3．1 运动过程的周期性

图5

【例5】如图5所示，将质量均为m，厚度不计的两物块A，B用轻质弹簧相连接．第一次只用手托着B物块于H高处，A在弹簧弹力的作用下处于静止，现将弹簧锁定，此时弹簧的弹性势能(与弹簧形变量大小有关)为Ep，现由静止释放A，B，B物块着地后速度立即变为零，同时弹簧锁定解除，在随后的过程中B物块恰能离开地面但不继续上升．第二次用手拿着A,B两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B离地面的距离也为H，然后由静止同时释放A，B，B物块着地后速度同样立即变为零．不计空气阻力，求：

(1)第一次释放A,B后，A上升至弹簧恢复原长时的速度v1；

(2)第二次释放A,B后，B刚要离地面时A的速度v2.

解析:设弹簧原长为L，则整个过程各状态如图6所示.