数列中裂项相消的常见策略

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(宿州学院附属实验中学 安徽宿州 234000)

数列中裂项相消的常见策略

●马杰

(宿州学院附属实验中学 安徽宿州 234000)

裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此类方法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结,以供参考.

1 利用分式的通分进行裂项

分析因为

所以

例2已知等差数列{an}满足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.

(1)求a4及Sn；

(2010年山东省数学高考理科试题)

分析(1)略.

(2)由an=2n+1,得

从而

因此

2 利用根式的分母有理化进行裂项

得

3 利用配凑法进行裂项

把数列通过加一个数再减一个数或者乘一个数再除一个数,凑成差的形式进行裂项.例如an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1等形式.

例5已知数列an满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1)，且a2=6，设bn=an+n(n∈N),求{bn}的通项公式.

分析将an=bn-n代入(n-1)an+1=(n+1)(an-1)，得

(n-1)bn+1=(n+1)bn-2(n+1),

从而

即

cn= (cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c3-c2)+c2=

于是

4 利用两角差的正切公式进行裂项

例7在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn,n≥1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=tanan·tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.

(2011年安徽省数学高考理科试题)

分析(1)an=lgTn=n+2(n≥1).

(2)由题意和第(1)小题的计算结果，知

bn=tan(n+2)·tan(n+3)(n≥1).

于是

例8证明：存在常数A和B，使对一切n∈N+，有a1+a2+…+an=Atann+Bn,其中ak=tank·tan(k-1),k∈N+．

分析对于一切k∈N+，有

变形可得

从而

5 利用等差数列的定义进行裂项

等差数列的定义是学生经常用到的,只要稍加变形就可以用于裂项求和.

6 利用对数的运算性质进行裂项

例10各项都是正数的等比数列{an}满足an≠1(n∈N*)，当n≥2时，证明：

即

7 利用排列数或组合数的性质进行裂项

例11求和:1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=________.

分析直接利用n·n!=(n+1)!-n!可得结果是(n+1)!-1.