四法帮你克服思维定势

2012-11-06

中学教研(数学) 2012年1期

关键词：定势本题条件

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(金湖县教师进修学校江苏金湖 211600)

四法帮你克服思维定势

●徐加生

(金湖县教师进修学校江苏金湖 211600)

思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会习惯性地用同样的思维方法解决以后类似的问题，并不关心条件有些许的不同、环境有些许的改变.在数学解题中的表现就是记类型、记方法、套公式，这种思维定势在解决简单的数学题中可能会有一定的效果，不用太多的思考就能解决，但在一些范围广、覆盖面大、具有灵活性的题目中，则会受到限制，因而难以得到较为完善的解题思路和方法，这种现象必须加以克服.本文介绍4种措施，帮你渡过此关.

1 细观察

观察是认识事物最基本的途径，是了解问题、发现问题和解决问题的前提，是数学解题必需的准备阶段.任何一道数学题，都含有题设和结论，只是有些题目条件隐晦或条件与结论混同一体，解题的第一步就是分析题目特征，对题目中的符号、等式、图形及位置关系进行深入、细致、透彻的观察和分析，然后再认真思考.透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到适合自己的、实用有效的解题方法.

例1已知集合M={x|x2-1=0}，N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a等于

( )

A．1 B．-1

C．1或-1 D．1或-1，或0

分析从已知条件中可以知道，正确理解M∩N=N，即N⊆M是解题的关键，再从各选项去考察，a=1，a=-1都符合题意，主要须考察a=0的情形，当a=0，N=φ，M≠φ，显然有N⊆M，即M∩N=N成立.故选D.

评注本题中，集合M可以化简为{-1，1}，而集合N中含字母a，正确地求方程ax-1=0的解就是准确审题的结果，考虑a=0的情形可以从选项中和正确理解N⊆M引发出来，本题的要点是对符号语言M∩N=N的认识和理解.

(2009年全国数学高考试题)

即

由基本不等式得到

当且仅当m=n时等号成立，即弦AC,BD长度相等时四边形ABCD的面积有最大值为5.

2 用特例

特殊与一般是对立统一的，在数学解题中，一般化是一种常规性的思维方法，而特殊化是一种探求性的思维方法，是一种创造性的思维品质.因此在用常规方法难以破题时，不妨向特殊化考虑，即将问题置于特殊情形、特殊位置、特定图形来思考，或用特殊值、特殊函数、特殊曲线方程进行探求，用简单化、具体化、单一化、边缘化、极限化的手段探索问题的解决途径，注重思考问题在特殊情况下会呈现什么性质或规律，从而激发解题的灵感和智慧.

图1

评注本题抓住“直角三角形的外心为斜边的中点”这一重要结论，使求值问题变得简单.由于将三角形特殊化后并没有改变问题的本质，没有使其他的条件变得无效，这是针对本题特征的重要措施.

例4已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，求证：当-1≤x≤1时，|g(x)|≤2.

分析由于所给函数式含多个参数，直接推理有困难，需用特殊值探查分析，才能得到解题契机.当-1≤x≤1时，有|f(x)|≤1.令x=0,得

|f(0)|=|c|≤1;

令x=±1,得

|f(±1)|=|a±b+c|≤1.

又g(x)=ax+b，则

|g(±1)|= |±a+b|=|a±b|=

|(a±b+c)-c|≤|f(±1)|+|c|≤

1+1=2，

由一次函数图像性质可得|g(x)|≤2.

评注本题抓住函数f(x)与g(x)中的系数a,b特殊关系，利用特殊值探查分析得到|f(±1)|与|g(±1)|的关系，为后面利用不等式|a-b|≤|a|+|b|进行放缩解题创造了条件.

3 勤联想

联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的内在联系，由一事物想到另一相关事物的心理过程.数学联想是探索数学问题解决的触角和向导，是将题目中的已知条件向需求结论转化的桥梁.在解题过程中，通过对题目中已知条件、图形特征以及求解目标的分析研究，联想相关的数学定义、定理、公式、法则，或联想数学各分支中相近的知识与表述以及能反映问题实质的图形(像)，运用变通思维、数形转化等方法破解问题.

例5已知定义在R上的函数f(x)是增函数，且f(0)=-1，f(3)=1，则不等式|f(x+1)|<1的解集是________.

图2

分析由已知的函数定义及所经过的特殊点(0，-1)，(3，1)可联想到函数f(x)图像的大致走向，如图2.而f(x+1)是由f(x)向左平移一个单位得到，|f(x+1)|是由f(x+1)把在x轴下方的图像向上翻折得到，那么点(0，-1)变为(-1，1)，(3，1)变为(2，1)，故要使|f(x+1)|<1，由图像变化可知x∈(-1,2).

评注这是一个与抽象函数有关的解不等式问题,不能直接解不等式，但通过对已知条件的联想分析，转而研究此函数的大致图像达到解题目的.

例6已知a，b是实数，函数f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致.

(1)设a>0,若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b的取值范围；

(2)a<0，且a≠b，若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.

(2011年江苏省数学高考试题)

分析由于f′(x)=3x2+a，g′(x)=2x+b，根据f(x)和g(x)单调性一致的定义知，(3x2+a)(2x+b)≥0在区间(-1，+∞)恒成立，又a>0时，3x2+a>0，即有b≥-2x在[-1，+∞)上恒成立，因此b≥2.

当x∈(-∞,0)时，

g′(x)<0；

f′(x)>0，

f′(x)<0；

要使f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致，根据定义应有

评注本题新定义了2个函数单调性一致的概念，理解和正确应用这一新定义是解题关键，所以解题活动都必须围绕这个中心进行，如在求|a-b|的最大值时，变通思维，运用f′(x)g′(x)≥0恒成立确定a，b的范围，这就抓住了问题的核心，从而明确了解题方向.

4 善转化

由于客观世界在不断运动变化之中，转化是解决问题的永恒主题.数学中的转化思想就是要求我们换一个角度去看、换一种方式去想、换一种语言去讲、换一种观点去分析任何数学问题，使问题朝着有利于解决的方向不断变更、发展.等价转化思想是解决数学问题的重要思想方法，常用方法有:把复杂结构向简单结构转化，把抽象问题向具体问题转化，把未知结论向已知条件转化，把正面叙述向反面表达转化等.

例7已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0的2条切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PABC面积的最小值为________.