一道自主招生试题的解法探究

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(盱眙中学 江苏淮安 211700)

一道自主招生试题的解法探究

●周志国

(盱眙中学 江苏淮安 211700)

题目已知数列{an},{bn}满足an+1=-an-2bn，且bn+1=6an+6bn，又a1=2，b1=4，试求数列{an},{bn}的通项公式．

(2004年复旦大学自主招生数学试题)

这是一道魅力无穷的自主招生试题！下面笔者给出它的奇妙多解.

1 众里挑一，各个击破.

当2个不同的数列杂糅在一起时，关系不明确，很难认清.笔者尝试利用解方程的思想，寻求某一个数列的递推关系，显现出数列各自的特征，便于深入认识数列.基于此，笔者给出了如下几种解法．

方法1特征根法.

解由条件an+1=-an-2bn，得

从而

将bn+1，bn代入bn+1=6an+6bn，得

整理得

an+2=5an+1-6an，

其特征根方程为

x2-5x+6=0，

解得

x1=2,x2=3，

从而可设

an=c12n-1+c23n-1.

由a1=2,a2=-10得

an=2n+3-14·3n-1，

故

点评方法1的关键是消元，要求学生从方程角度认识等式，转化成某一数列连续3项的递推关系，并熟悉用特征根法求通项的方法．

方法2待定系数法.

解由方法1知

an+2=5an+1-6an,

令an+2-λan+1=μ(an+1-λan)，则

或an+2-3an+1=2(an+1-3an)，

得

an+1-2an=-14·3n-1,

(1)

an+1-3an=-2n+3,

(2)

由式(1)，式(2)得

an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2.

点评将an+2=5an+1-6an转化成熟悉的2项间的递推是本问题的关键，尝试通过化归，抓住整体特征，待定系数，转化成熟悉的2项间的递推，再通过解方程组，求出数列{an}，{bn}的通项公式．

方法3化归为特殊数列.

解由方法2知

an+1-2an=-14·3n-1，

从而

故

an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2．

2 顺水推舟，层层深入.

已知多个数列杂糅的递推关系式，求数列通项公式，解决这类问题的关键是能否准确把握递推关系式的结构，注意关系式的整体结构，构造新数列，层层深入，突破难点，求出通项公式．

方法4构造新数列.

解令an+1+λbn+1=μ(an+λbn),

(3)

an+1+λbn+1= (-an-2bn)+λ(6an+6bn)=

(6λ-1)an+(6λ-2)bn,

(4)

比较式(3)，式(4)得

从而

2an+1+bn+1=2(2an+bn)，

或 3an+1+2bn+1=3(3an+2bn).

利用等比数列的定义可得

方法5利用矩阵变换.

解由题意得

故特征值λ1=2，λ2=3，对应的特征向量分别为

设β=mα1+nα2，m,n∈R，可得m=8,n=-14，

即

β=8α1-14α2，

于是

即

an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2．

该题初看难以入手，仔细研究就会发现，试题内涵深厚，纵横联系．该题的5种方法，以数学思想方法引领，从不同的角度切入，应用不同的数学知识，显现出不同的精彩，给人以美的享受．最后以著名的数学教育家波利亚的一句话与大家共勉：没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方．

[1] 杨苍洲．解题，从结构联想开始[J]．数学通讯，2011(4)：14-16．

[2] 吴旭红．高中数学选修内容运用例析[J]．中学数学月刊，2009(11)：40-42．