基于数形结合思想的数学思维训练

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(浙江师范大学2007级教育硕士 浙江金华 321004)

基于数形结合思想的数学思维训练

●陈晴

(浙江师范大学2007级教育硕士 浙江金华 321004)

“数学是一门理性思维的科学”,它能启迪、培养、发展人的思维，而且数学在思维培养的深度、广度、系统性等方面是其他学科或其他培养方式所无法比拟的．人们在数学学习过程中，由于学习者个体的差异，表现出数学思维水平的差异性，而这种思维水平的差异性是以数学思维品质为标志的．如果人们有意识地强化学习者的数学思维，相应地，作为数学思维水平标志的数学思维品质也会随之发展．

新教材将许多数学概念的学习设计成“三步曲”模式(直观图形感知、自然文字描述、符号形式证明)，其实就是数形结合思想的渗透．数形结合思想在知识形成与问题解决中显示出的直观性、简洁性，为培养学生优良的数学思维品质打下了基础．通过数形结合培养学生的数学思维品质，具体表现为以下几个方面．

1 数学思维的广阔性

数学对象是复杂的，它既不像一个球，因为从各个角度观察都是不同的形状，也不像一张纸只有一个平面而无层次．因此，数学思维需要有不同的角度和丰富的层次．

例1已知平面向量α，β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是____________．

(2010年浙江省数学高考理科试题)

由模长与夹角的已知条件，首先想到的就是利用数量积这一代数方法对其进行转化，但是过程较繁，容易出错.此时，如果增加视觉广角，注意到向量是集数形于一体，它天生就具有代数与几何的双重属性的特征，那么接下来用数形结合思想来解决这个问题的想法就呼之欲出了！

方法1构造三角形

图1 图2

方法2构造圆

事实上，正是数形结合方法的应用才将该题从抽象的向量问题转化成为几何问题，从而克服了代数方法求解该题的复杂，使抽象问题形象化、具体化、简单化．这实在是一种直观且又具有挑战性的精妙之法！

2 数学思维的独创性

思维的独创性是人类思维的高级形态，它是指在新异的情境中，在一定目标的指引下，调动一切已知信息，独特、新颖且有价值地解决问题所表现出来的智力品质．

如图3所示，在圆O中，AB是直径，M是圆上任意一点，MC⊥AB交于点C，CA=a,CB=b．

图3 图4

正当学生沉浸在成功的喜悦中时，为了让学生的独创性思维得到培养，笔者又乘胜追击,提出了更高的要求：“还能构造出另外的图形来说明这个不等式成立吗？”经过一段时间的思考，有部分学生发现问题的本质是Rt△AMB，因此可构造如图5所示的图形，其中NC=a,NB=b．

图5

由此得到基本不等式的几何解释：在同一圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦)，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边的高．

几何图形的直观解释和证明，真正体现了代数和几何的有机统一，可谓“无字的证明”．

3 数学思维的批判性

思维的批判性也叫思维的独立性，就是善于发现问题、提出疑问、辨别是非、评价优劣的一种思维品质．批判性的思维是一种实事求是、周到、缜密的思维．培养学生的批判性思维，教师可以在课堂上利用反例，引起矛盾冲突，并在矛盾冲突中使学生所学知识逐步完善．

例2判断方程lnx-x+1=0的实根个数．

高三学生对这类高考题型早已经驾轻就熟，笔者在黑板上一写出，就引来学生异口同声地回答“作图像”．因为学生明白，与方程根个数有关的问题往往可以用数形结合的方法来解决．笔者让学生思考了一会儿后，故意在课堂上给出了一种有问题的分析：

图6 图7 图8

将原方程化为lnx=x-1，令f(x)=lnx,g(x)=x-1,在同一直角坐标系中作出f(x)和g(x)的图像，如图6所示．因为图像有2个交点，因此判断原方程有2个实根．

短暂的沉寂，一个学生发表不同看法：“老师，我画的图像也是2个交点，但是我的图像与你画的不一样.”该学生画的图像如图7所示．

笔者顺势引发学生思考：“易见这个方程其中一个根是1，那另一个根是比1大还是比1小呢？”

不料又一个学生提出了新的看法：“我感觉没有其他根了，我用计算器试了好多次呢！”这是一个基础比较差的学生，他用计算器求根的行为引发了其他学生的笑声，但笑过之后更多学生进入了探究这3种想法孰真孰伪的思考中……

分析其实数形结合的思想分2个方面：以形助数和以数解形,两者是并不是孤立的.“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”华罗庚先生的这句话就是对数与形不可分割关系的精辟概括．因此当单纯从“形”的角度去分析探求很难精确描述时，就必须要利用“数”的精确性才能得到精确的结论．

(学生一片哗然，感觉结果实在太意外了！)

至此，问题完美解决.通过这样的故意出错，巧用反例，给学生留下了难以忘怀的印象，余音袅袅，绕梁数日，经久不息．

4 数学思维的灵活性

思维的灵活性是指依据客观条件的变化及时调整思维的方向．思维的灵活性表现在不受思维模式和固定模式的束缚，善于发现新的条件和新的因素，在思维受阻时能及时改变原思考路线，修改原定方案，从而找到新的方案与新的途径．

例3实数m满足|m|<2,求使x2+mx+1>2x+m恒成立的x的取值范围．

分析该题主元是x，参数是m，按照惯例将不等式变形为(x-1)2>m(x-1)，再设y1=(x-1)2，y2=m(x-1),构造曲线与直线相关问题求参数．这种数形结合方式的运算势必引发讨论，导致过程繁琐还容易出错.这时，如果能善于变通，调整主元，变换思维角度，视m为主元，那么问题即变为求x的取值范围，使原不等式在m∈(-2,2)上恒成立.原问题转化为一条直线(图略)，非常简洁．曲线转化为直线，高次转化为低次，数学的转化思想在这里体现得淋漓尽致．

解要使当-20恒成立，只须满足

解得x≤-1或x≥3.

数形结合不仅是高中新教材编排的一个重要特点，更是高中学生解决问题常用的方法之一，同时又是一种重要的数学思想．在教学过程中，教师应做有心人，充分利用“一图抵百语”的优势，向学生渗透数形结合的思想，从而激发和培养他们的数学思维品质．