从课本例(习)题到高考题的若干命题途径

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(余杭高级中学 浙江杭州 311199)

从课本例(习)题到高考题的若干命题途径

●曹凤山

(余杭高级中学 浙江杭州 311199)

高考试题一直注重在课本中选材，对中学数学的教与学发挥了积极的导向作用.如何利用好课本、充分发挥课本的作用一直为大家所关注，其中很现实的一个问题是：如何利用课本素材，编制出高质量的试题.本文选取了课本中的一道例题，分析课本例(习)题到高考题的若干命题途径，从中可以看到高考试题与课本例(习)题的联系，从而启发我们的课堂教学、试题编撰等.

题目斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于点A,B，求线段AB的长.

(人教版数学选修2-1第69页习题)

该题涉及抛物线概念、焦点、准线、直线的斜率等核心概念，焦点弦长度的求解方法，重点渗透数形结合思想、方程思想等解析几何基本思想方法.详细求解从略.该题出现在近十年的高考中，2010年数学高考共37份试卷中有22题(不包含文、理相同试题)与该题相关，主要途径有：

1 直接利用，考查核心概念的理解

例1以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为

( )

A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0

C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0

(2010年福建省数学高考理科试题)

简析该圆的圆心即为抛物线的焦点F(1，0)，又圆过原点，因此所求圆的方程为(x-1)2+y2=1.故选D.

例2已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为

( )

(2010年陕西省数学高考理科试题)

( )

A．9 B．6 C．4 D．3

(2007年全国数学高考理科试题)

(xA+1)+(xB+1)+(xC+1)=6.

故选B.

2 变换条件，考查基本数学思想方法

(2010年重庆市数学高考理科试题)

图1

例5已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1,y1)，P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则

( )

A．|FP1|+|FP2|=|FP3|

B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|

D．|FP2|2=|FP1|·|FP3|

(2007年宁夏回族自治区数学高考理科试题)

简析与原题相比，例5数据一般化，但方法没有变化.由题意得

|FP1|+|FP3|=x1+x3+p=2x2+p，

2|FP2|=2x2+p，

即

2|FP2|=|FP1|+|FP3|.

故选C.

3 逆向命题，考查通性通法

例6过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于点A,B.若线段AB的长为8，则p=________.

(2009年福建省数学高考理科试题)

又|AB|=x1+x2+p=4p=8，故p=2.

例7过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于点A,B，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

( )

A．有且仅有1条 B．有且仅有2条

C．有无穷多条 D．不存在

(2005年上海市数学高考理科试题)

简析由题意，设过焦点的直线方程为y=k(x-1)，与y2=4x联立有

k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

由韦达定理得

从而

这样的直线有且仅有2条.故选B.或者利用焦点弦端点横坐标之和等于5，得到弦长为7，而通径为4，从而得解.

4 变换设问，引导深入探究

例8已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交C于点A,B．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．

(2008年全国数学高考理科试题)

简析例8把原题的设问更进一步，由求焦点弦长到求2个部分的线段之比.根据原题的解答，点A，B的横坐标分别是

故

类似问题如：

(2008年全国数学高考理科试题)

例10已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于点A,B，点F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=________.

(2009年全国数学高考理科试题)

实际上，对原题进一步探究，有：

证明从略，例8至例10的解答就迎刃而解.

(2010年全国数学高考理科试题)

图2

从而

|BM|=|BE|.

又因为M为抛物线的焦点，所以p=2.

(2010年湖南省数学高考理科试题)

x2-2px-2p2=0，

从而

x1+x2=2p,x1x2=-p2，

又p>0,故p=2.

5 变换素材，考查类比迁移能力

( )

(2010年全国数学高考文科试题)

(2010年全国数学高考理科试题)

(2011年浙江省数学高考理科试题)

图3

由于圆锥曲线内在的统一性，其问题的解法、结论也具有较多的相似性.类比例8中的结论，可以得到：

以上试题的求解就易于反掌.

6 沟通联系，考查综合解题能力

例16已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K(-1,0)的直线l与C相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为D.

(1)证明：点F在直线BD上；

(2010年全国数学高考理科试题)

简析例16以原题中的抛物线为背景，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆方程的求解、平面向量的数量积等知识,特别突出对抛物线对称性的理解、运用.求解从略.

(1)若m=2，求抛物线C的方程；

(2)设直线l与抛物线C交于点A,B，△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H，求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

(2010年浙江省数学高考文科试题)

图4