模糊集合论对罗素悖论的解决

杨 帆

(南开大学 哲学院， 天津 300350)

罗素悖论的发现引起了人们对集合论作为数学基础的怀疑，甚至导致了第三次数学危机。一切后续的集合论研究都不能回避这个悖论，于是出现了ZF集合论(Zermelo-Fraenkel set theory)和NBG集合论(von Neumann-Bernays-Gödel set tehroy)等公理化集合论来解决悖论，它们都对朴素集合论作出了修正。ZF集合论给出的方案是将能够导致悖论的概括原则限制为分离公理，即将“如果φ(x)是一个性质，那么就存在一个集合{x|φ(x)}”修正为“如果φ(x)是一个性质，那么对任意的A存在一个集合{x∈A|φ(x)}”，这样就确保每一个新的集合都是已经存在的集合的子集，罗素集R={x|x∉x}不复存在；NBG集合论则引入类的概念，并区分了集合和真类，集合可以属于其他集合，而真类不属于任何集合。这样，罗素悖论中所有满足某个条件的集合所构成的集合便不存在，它被定义为真类，由此解决了悖论。

上述两种公理化集合论的解悖方案分别是对概括原则进行限制与区分集合和真类的定义。替换经典逻辑则是第三种思路。随着非经典逻辑研究的兴起，构造各种非经典集合论的尝试也相继出现[1]。这些非经典集合论多能结合底层逻辑的特点来解决罗素悖论。目前，国内已经有学者开展非经典集合论在解悖方面的研究，主要涉及模态集合论[2]、弗协调集合论[3]和直觉主义集合论[4]等几种非经典集合论。但是，国内关于模糊集合论(fuzzy set theory)解决罗素悖论的论述尚不多。模糊集合论是一种非经典集合论，虽然创立的初衷是为了刻画工程中遇到的不精确现象，但为了保证能够作为模糊数学坚实的理论基础，它依然要探讨如何去解决罗素悖论。

本文的创新之处在于探索了各种模糊集合论系统对罗素悖论的解决，综合地分析并比较了它们的解悖方案，并以此来说明模糊集合论能够作为模糊数学的基础而存在。第一节阐述多值逻辑对罗素悖论的回应，第二节从底层逻辑和方法论两个方面阐述模糊集合论公理化的基础，第三节分析ZF型模糊集合论、模糊类型论和朴素模糊集合论的构造过程，第四节对这几种构造的解悖方案进行分析和比较。

一、多值逻辑对罗素悖论的回应

如果要讨论模糊集合论对罗素悖论的解决，就无法绕开它的思想来源——多值逻辑(many-valued logic)对罗素悖论的回应。作为非经典逻辑的一种，多值逻辑对经典逻辑中的二值原则持扩张的态度，认为命题不只可以取真和假两个值，例如三值逻辑认为命题可以有第三个值，有穷值逻辑认为命题有n个值(n是任意的自然数)，无穷值逻辑认为命题有可数无穷多个值或不可数无穷多个值。多值逻辑最初还被认为可以替换朴素集合论中的经典逻辑来解决罗素悖论。与ZF集合论和NBG集合论的解悖思路不同，多值逻辑既不对概括原则作出任何限制，也不区分集合和真类的定义，而是将朴素集合论的底层逻辑替换为多值逻辑，例如鲍契瓦尔(D.A.Bochvar)的三值逻辑。如此一来，罗素悖论依然存在，但是这个命题被指派了第三值，因此并不构成经典意义上的悖论。

然而，事实远非如此简单。莫绍揆证明，仅将朴素集合论的经典逻辑替换为有穷值逻辑n(3≤n<ω)，仍然会导致悖论[5]。不过，这个结论不能推广到无穷值逻辑。那么无穷值逻辑就因此而值得信赖了吗？郑毓信等人证明，任何一个数学系统，只要包括概括原则、分离规则、同一律、自然数系统且承认无穷多个集合可以构造并集，就会导致悖论，即使将经典逻辑替换为无穷值逻辑也无法避免[6]。杜国平等人进而将这个结论推广到任意值逻辑上[7]。杜国平由此断定，无法通过对朴素集合论的底层逻辑进行替换来解决罗素悖论[8]。

多值逻辑对罗素悖论的回应之所以失败，是因为这样的回应是不完备的，即仅将底层逻辑替换为多值逻辑，而没有深入考察集合论随之而来的变化。如果不放弃以多值逻辑替换底层逻辑的思路，那么集合论层面就不应局限在固有的朴素集合论上，而应寻求与多值逻辑相一致的某种新型非经典集合论。只要构造出基于多值逻辑的非经典集合论，就可以继续对罗素悖论的解决进行合理的探索。幸运的是，实际应用中已发展出一种基于多值逻辑的非经典集合论，即模糊集合论，并且它能够从理论上回应罗素悖论。

二、模糊集合论公理化的基础

模糊集合论的概念最早是扎德(L.A.Zadeh)在其1965年的论文《模糊集合》(Fuzzysets)中提出的[9]，用以处理不精确现象，它表现出了对经典集合论的扩张。这种扩张体现在模糊集合论对属于关系的重新解释上。在经典集合论中，一个元素要么属于一个集合，要么不属于一个集合，没有其他情形。扎德创立的模糊集合论则不同，他认为属于关系可以用隶属度(membership degree)的概念来刻画。简单来说，就是对论域X，存在一个从X到实区间[0,1]的映射μA，称作隶属函数(membership function)，它代表着一个模糊集合A。X中的元素x在μA映射下的像μA(x)就是x的隶属度。这样，模糊集合A可以表示为A={(x,μA(x))|x∈X}。一个元素是按一定的隶属度属于一个集合的，这个隶属度是在[0,1]上取值的。显然，隶属度的取值有不可数无穷多个，这与多值逻辑中的不可数无穷值逻辑的真值集相契合。

模糊集合论的底层逻辑是多值逻辑，因此二者有着极其密切的联系。但是，模糊集合论从两个方面超越了多值逻辑：一是从模糊限制的角度发展了多值逻辑的语义学，使其能够刻画不精确概念；二是它有着更为广泛的应用，在模糊控制、模糊识别和专家系统等领域都有重要价值。随着模糊集合论在实际应用中的逐渐成熟，对它的理论基础，即公理化系统之需求也日渐迫切。较之于扎德所创立的经典模糊集合论，公理化模糊集合论蕴含了更多的逻辑基础和哲学上的考量。我们将从底层逻辑和方法论两个角度来分析模糊集合论公理化的基础。

(一)底层逻辑：基本三角范数逻辑

Gödel三角范数：T(x,y)=min(x,y)；

乘积三角范数：T(x,y)=x·y。

(二)方法论：公理化与形式主义

一般的数学理论有三层结构：形式逻辑、基础理论、具体学科。在模糊数学中，作为形式逻辑一层的数理模糊逻辑如前所述已经非常丰富，而具体学科自扎德创立以来一直发展迅速，相对薄弱的是基础理论，即一种能够导出模糊数学的公理化模糊集合论。结合基础理论亟需发展的态势，贝侯内克(L.Běhounek)和辛图拉(P.Cintula)给出了模糊集合论公理化的指导思想，称作“形式主义命令”(formalistic imperative)[11]。基于哈耶克对数理模糊逻辑的研究，贝侯内克和辛图拉认为要研究模糊数学的基础理论，首先需要以一种模糊逻辑为底层逻辑来研究形式化和公理化的理论，而非特定的模型。由于模仿经典逻辑的传统语法已被数理模糊逻辑证明是可行的，因此延续这一思路进而构造模糊集合论似乎也是值得尝试的。

贝侯内克和辛图拉声称一种公理化模糊集合论可以简单地在某种模糊逻辑上增加二元属于谓词而构造，而不必提出任何新的属于谓词。在这一情形下，许多经典集合论中的构造和证明都将成立，无需推倒重建。这个说法主要针对的是早期夏平(E.W.Chapin)等人(1)由于涉及的文献较多，此处不再罗列，具体可参见戈特瓦尔德(S.Gottwald)对此的统一评述[12]。基于经典逻辑构造模糊集合论时为刻画含混性而引入新的三元属于谓词，其中第三元表示隶属度，这样隶属度在模糊集合论中就作为一个新的对象来处理。但按照贝侯内克和辛图拉的思路，隶属度不必作为一个新的对象引入到模糊集合论中，只需“隐藏”在元语言层面即可。我们知道经典逻辑是模糊逻辑的扩张，因此也就可以视作是模糊逻辑的一个特例，以经典逻辑为底层逻辑而构造的模糊集合论只能视作是对模糊现象的一个经典模型解释，不能称其为真正的模糊化方法。而如果能够在模糊逻辑上构造模糊集合论，那么经典模型就同样可以作为特例被容纳于其中。

这一说法确立了一种构造模糊集合论的方案，即选择一个合适的模糊逻辑系统作为底层逻辑，通过增加二元属于谓词，然后引入经典集合论的公理系统，得到一个新的公理化模糊集合论。虽然扎德的经典模糊集合论具有一定的现实意义，但他创立模糊集合论的过程并不是从一种模糊逻辑开始的。贝侯内克和辛图拉认为，我们更需要的是一种表达力极强的底层逻辑，而非对集合论的完全模仿。这主要表达了两层含义：第一，扎德创立的模糊集合论只是将经典集合论中的概念模糊化了，其结果仍然停留在基础理论这一层，没有深入到底层逻辑；第二，真正构造模糊集合论必须选取数理模糊逻辑中表达力足够强的系统。从他们的主张出发构造的公理化模糊集合论，为了能作为模糊数学的哲学和理论基础，面临的首要问题就是如何解决罗素悖论。

三、模糊集合论的构造

模糊集合论的构造过程与经典集合论颇有相似之处，但其底层逻辑和具体问题又不尽相同。下面我们将考察三类已有的模糊集合论系统。

(一)ZF型模糊集合论的方案

ZF集合论对罗素悖论的解决方案比较经典，也广为数学界和逻辑学界所接受，将ZF集合论的公理系统移植到非经典集合论中是很自然的思路。在仿照ZF集合论来构造公理化模糊集合论的方法中，比较有价值的是竹内外史(Gaisi Takeuti)和千谷慧子(Satoko Titani)基于Gödel逻辑给出的方案，以及哈耶克和汉尼科娃(Z.Haniková)基于BL逻辑给出的方案。

竹内外史和千谷慧子以一种多值逻辑，即Gödel逻辑为底层逻辑，吸纳了直觉主义集合论(intuitionistic set theory)的思想[13]，构造了一种直觉主义模糊集合论ZFIF。ZFIF的公理有直觉主义集合论ZFI的公理加上依赖选择公理和双重否定公理。关键的步骤是用∈-归纳公理替代基础公理，这一替代是对集合论中能够蕴涵排中律的公理进行修正。而双重否定公理补充了Gödel逻辑中否定算子所不具有的对合性(involutivity)，即φ↔﹁﹁ψ。后来，他们又使用ukasiewicz逻辑联结词和乘积逻辑的合取联结词，提出一种新的底层逻辑FL(fuzzy logic)[14]，FL可以包含Gödel逻辑。由此，他们构造了一种ZF型模糊集合论FZF，FZF公理与ZFIF的公理基本一致。

受ZFIF和FZF的启发，哈耶克和汉尼科娃从一阶基本模糊逻辑BLΔ∀出发，引入Δ算子，构造了一个ZF型模糊集合论FST(fuzzy set theory)[15]。他们认为，竹内外史和千谷慧子的工作的缺陷在于“没有区分多值逻辑的特征，即合取联结词的非幂等性(non-idempotence)”[15]273。FST的公理有外延公理、空集公理、对集公理、并集公理、弱幂集公理、无穷公理、分离公理、收集公理、∈-归纳公理和支集存在公理等。

(二)模糊类理论的方案

虽然ZF集合论是比较经典和公认的一种思路，但是将ZF集合论移植到模糊集合论仍然会导致一些问题。例如，ZF型模糊集合论所依赖的底层逻辑无法推广等。从方法论层面来看，这会使得某些模糊集合论不足以构造出模糊数学的结构，于是我们转向另一种方案。

FCT是一个一阶理论，扎德的模糊数学已经容纳于其中。但它可以继续向高阶理论扩张，以容纳更高阶的数学理论。比如，二阶FCT包含两种变元：类和类族(family)，并定义一个新的属于谓词∈表示“类属于类族”，然后有类族的概括公理和外延公理；三阶FCT同样也包含两种变元：类族和类族的族，再定义一个新的属于谓词∈表示“类族属于类族的族”，然后有类族的族的概括公理和外延公理……如此可将理论扩张为n阶，属于谓词∈表示“n-1阶变元属于n阶变元”。每一阶的FCT语言和公理都是相同的，只有变元会有所变化。

(三)回到朴素集合论的方案

除了通过公理化方法构造模糊集合论外，还可以选取一条回归康托尔朴素集合论的路径，这就是哈耶克以ukasiewicz逻辑为底层逻辑而构造的C集合论(Cantor-ukasiewicz set theory)[17]。他将这种方法称作是与FST“完全不同的”[17]763，C集合论是由将康托尔的朴素集合论中的经典逻辑替代为ukasiewicz逻辑而构造出来的，其思想来源于怀特(R.B.White)对无穷值ukasiewicz逻辑上概括原则的一致性证明[18]。

四、模糊集合论解决罗素悖论的方案分析

基本模糊逻辑BL已经成为模糊逻辑领域中公认的基础逻辑系统，由此出发而构造的几种模糊集合论，以及它们对罗素悖论的解决方案则各有异同。这一节我们将具体分析以上三类模糊集合论对罗素悖论的解决。

竹内外史和千谷慧子所提出的ZFIF和FZF系统，是模糊集合论的研究进程中最先借鉴直觉主义集合论对基础公理处理的方案。ZFIF和FZF保留了ZF集合论原有的分离公理，因此能够避免悖论。在哈耶克提出BL从而将几种多值逻辑系统视作其扩张后，以BLΔ∀为底层逻辑来构造一种“更为基本”的集合论就成了可能。接下来我们主要分析模糊集合论FST是如何解决罗素悖论的。

一方面，FST的构造是从经典的ZF集合论出发，借鉴直觉主义集合论中的思想，对能够蕴涵排中律的公理进行修正。蕴涵排中律的公理，即基础公理，在直觉主义集合论中会导致悖论。而在模糊集合论中，基础公理会使得属于关系弱化为明确的，亦即二值的，整个集合论失去了模糊性，这样FST就无法对多值模型作出解释。所以，FST中用∈-归纳公理替代了基础公理。而分离公理确保了每一个新的集合都必须是从已存在的集合中构造的，这避免了朴素集合论中的罗素集出现。另一方面，FST的底层逻辑是BLΔ∀，它延续了多值逻辑的思想，即对经典逻辑中二值原则的扩张，所以底层逻辑的语义是多值的。

以上两个方面表明，FST的解悖思路既确保了不存在罗素集，又保证了对多值模型的解释，由此排除了罗素悖论。FST是从ZF集合论的角度，立足于形式主义的主张来消解悖论。实际上，用ZF集合论处理悖论也一直是集合论研究领域的主流。不过，FST更关注的是ZF集合论的元数学性质，它在作为模糊数学的基础时具有一定局限性，譬如无法构造一些模糊数学的结构。

与FST相比能够推导出模糊数学的FCT则是从变元和谓词的定义角度消解悖论，它对属于谓词∈的定义非常严格，从而排除了罗素集出现的可能，因此也不需要对概括公理做任何的修正。FCT在定义属于谓词时很明确地指出，谓词∈前面的变元必须是对象，后面的变元必须是类，FCT既不考虑类与类之间的关系，也不考虑对象与对象之间的关系[16]43。罗素悖论要求的“所有不以自身为元素的集合”在FCT中是不符合谓词∈的定义的，而奇异收集所说的“所有不以自身为元素的集合的集合”在FCT中只能是“所有不以自身为元素的对象的类”。无论何种，都说明罗素集在FCT中不存在，这样就避免了罗素悖论。FCT对于罗素悖论的解决与NBG集合论有一些相似之处，例如对所处理的对象进行分层，但它对属于谓词的定义明显要强于NBG集合论，它只承认对象属于类的合法性。如果考虑将FCT推广到高阶的情形，很明显n阶FCT对于变元有清晰的分层，罗素悖论中对于“所有n-1阶变元的收集”将是一个n阶变元，它并不会导致悖论。

五、结语

杜国平将罗素悖论的架构梳理为：概括原则+集合论的基本定义+经典逻辑→矛盾[8]4。本文主要讨论的3种模糊集合论则恰好从这3个方面各自对罗素悖论进行了回应：FST通过公理化的方法对概括原则进行限制，FCT在关于集合的基本定义上更加严格，而C则是将朴素集合论的经典逻辑进行了替换，但C所谓的解悖方案目前还是一个假设，关于它的一致性依然是一个开放性问题。

罗素悖论是集合论和逻辑哲学中的一个重要问题。模糊集合论在其发展和解决罗素悖论的过程中，基本离不开对具有多值语义的模糊逻辑的依赖。模糊理论的学者们建立了一个个非平凡的理论，并在哲学上得到了合理的解释。在研究特定的模糊现象时人们会进行建模，而模糊集合论则是这些特定建模的一般化理论。从多值逻辑到模糊集合论的进程，虽然还有许多问题需要探讨，但模糊集合论已经较好地处理了罗素悖论，使其能够作为模糊数学的基础而存在，为进一步的理论研究和实际应用提供了必要的支撑。